〚代数精编2.1-8〛

题目

已知三个关于 $x$ 的一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$，$b{x}^2+cx+a=0$，$c{x}^2+ax+b=0$ 恰有一个公共实数根，则 $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$ 的值为______．

导引

解答

$3$（书后参考答案）

提示：设公共实数根为 $t$，则 $\{\begin{array}{l}a{t}^2+bt+c=0,\\ b{t}^2+ct+a=0,\\ c{t}^2+at+b=0.\end{array}$ 三式相加得 $(a+b+c)t^2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0$，即 $(a+b+c)(t^2+t+1)=0$。 而 $t^2+t+1={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，故 $a+b+c=0$。

于是 $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3-(a+b{)}^3}{abc}=\frac{-3ab(a+b)}{abc}=\frac{-3ab(-c)}{abc}=3.$

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇