题目
设非空集合，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时，和为元素本身），称Q是M的偶子集。若集合 ，求偶子集Q的个数？
导引
集合 求偶子集Q的个数？
通过题目，我们关注哪些基础能力？
- 整体分析，自由而无用的思考 如果直接求，就是普通的计数问题 但，我们去想：“这个M的所有子集，是一个怎样的情况” 对所有子集做分析，在没有结果之前，不能预期对解题是否有什么帮助；甚至，我们无法预期要对整个子集分析些什么。只能在分析中，找到一些隐含信息，然后再看这些信息，有什么价值。这类分析，是自由的，没有谁规定一定要做；这些分析，起步也是“无用”的，看不到价值。然而，我们的一些解题方法，就来自于这些自由而无用的分析。进一步，对数学、对数学知识的深入理解，常常也是来自于这类分析。
- “一一对应” 这个思想简单，所以有可能不被重视。从而理解不深，用不好。 数学里的道理，常用的、广泛应用的，都是简单的。 数学的难，就难在不会面对简单的道理。 一学就会，一用就废。根源在于，道理，不是用来学的；是要在实践中体会。以解题为基础，以思考为本。在实际解题中体会的道理，在实际解题中用过的道理，才算“会”。听说过、知道、明白、懂，都统统不叫会。
- 奇偶性分析、加乘原理 小学阶段的拓展内容 当不清楚小学为什么要拓展时，当不清楚所谓“数学基础”是什么时，这是一个例子。 我们深入思考的每一个问题 都算数 都会在将来的解题中带来回报
- ※ 99%和1% 这是对初等数学问题一个有用的基础理解 数学，在现实中解决一个问题的99%，即：规律性的，有逻辑的部分 现实问题中1%，需要靠“苦力”去解决，即：最原始的分析 本题，奇偶性、一一对应，解决了最主要的数量分析；但最后，空集的影响，加一减一，这点要实际去分析。 此类情况，在初等数学里屡见不鲜。
- 总结 对“偶子集”个数的总结，又是一个 自由而无用 的处理 将来也许用得到，也许用不到；用得到，也未必记得起。 但，依然意义非凡。 因为抽象能力在提升，对问题的理解不断深入，结论会遗忘，但相关思考方式、分析方式会留下来。再碰到类似问题时，有没有这个总结，差异很大。
解答
解法1 - 整体分析+一一对应思想
- M={1，2，3，4，5，6，7}所有子集的个数：
- 将128个子集按如下方法，分成64对 任取一个子集合A，如果，定义 任取一个子集合A，如果，定义 A、B组成一对
- 任意一对A-B中，必然一个偶子集，一个奇子集
- 故，偶子集个数=64 考虑到不包括空集，64-1=63
解法2 - 整体分析+一一对应思想
- 分析：若A为M子集，则A的补集B也是M的子集 即：M=A+B
- 分析：考虑到 1+2+…+7=28 故：若A为偶子集，则B也是偶子集；否则同时为奇子集
- 在所有的分割方法中 若A-B是两个偶子集，那么“1”必然属于A、B中的某一个 将“1”在A、B间移动一下，则A、B变成两个奇子集 故：分割成2个偶子集和分割成2个奇子集，是一一对应的
- 故：偶子集个数=奇子集个数=128/2=64 考虑到不包括空集，64-1=63
解法3 - 直接求解，分步乘法
- 考虑到
- 从 取任意子集，都不影响奇偶性，有种取法
- 从 取元素个数为偶数的子集，共：
- 故，一种8×8=64种 考虑到不包括空集，64-1=63
解法4 - 直接求解，分类加法
- 取1个元素时，有3种符合条件
- 取2个元素时，3（含1）+2（含2）+2（含3）+1（含4）+1（含5）+0（含6）+0（含7）=9种符合条件
- 取3个元素时，… ，有点复杂
- …
- 这个方法很麻烦
空集的定理
- 题目把空集排除在外，最后结果-1 不要主要的努力有了，缺死在不起眼的最后一步
- 但，如果考虑空集，该怎么搬？ 从 逻辑统一的角度，空集的元素的和=0，比较合理 对应1+27=28 对应2+26=28 因此： 对应0+28=28 空集的元素和定义为“0”是合理的
题目推论
若集合M，至少包含一个奇数，则， 若集合M，元素全部为偶数，则
解析
附注
☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇
