〚金典必修1-2.3.1-e3(2)〛☆💯🏅

题目

已知 $a>0，b>0，c>0$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 9$

导引

解答

方法1，👉均值不等式 👉※维度对齐

证明：

1. 将 $a+b+c=1$ 代入 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$
2. 利用均值不等式 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2，\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2，\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge 2$
3. 故有 $\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge 1+1+1+2+2+2=9$ 得证

方法2，👉※排序不等式

证明：

1. 根据排序不等式，有： $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})\ge 3(a\cdot \frac{1}{a}+b\cdot \frac{1}{b}+c\cdot \frac{1}{c})$
2. 即： $(1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})\ge 3\times (3)$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge 9$ 得证

解释：

1. $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})$ 中包含三组$(a,b,c)、(\frac{1}{a}、\frac{1}{a}、\frac{1}{a})$ 的组合乘积
2. 其中，$(a\cdot \frac{1}{a}+b\cdot \frac{1}{b}+c\cdot \frac{1}{c})$ 是逆序的乘积 ——不妨：$a\ge b\ge c$ ——必有：$\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}\le \frac{1}{c}$
3. 逆序乘积最小，从而有了 —— $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})\ge 3(a\cdot \frac{1}{a}+b\cdot \frac{1}{b}+c\cdot \frac{1}{c})$

解析

👉※维度对齐

方法1证明简单 只是，起步$\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{a}$，不容易想到

但，也非他人找方法，我们只能模仿 并非无迹可寻

纵观常见的 👉恒不等式 其维度都是齐平的

1. 比如 $a^2+b^2\ge 2ab$，左右两边都是2次
2. 比如 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$ ，左右两边都是4次
3. 比如 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2（x\ge 0，y\ge 0）$，左右两边都是0次 根据 $a^2+b^2\ge 2ab$ 我们只能的到 $\frac{a^2+b^2}{ab}\ge 2$，只能在齐次之间建立倍数

但，本题中出现 $\frac{1}{a}、\frac{1}{c}、\frac{1}{c}$ 但凡，希望将不等式知识链接进来，应用进来 则需，针对 $\frac{1}{a}$ ，将分子次数升高，对齐次数 而题目中 $a+b+c=1$ 提供了在0次、1次之间的转化 ——从而，第一步处理，变得有道理起来 ——第一步处理，并非仅仅是技巧，是有迹可循

👉※数字反向代替

在代数中，字母代替数字，是习以为常的操作 数字代替字母，相对少见，但同样有效 比如 $a^1-1=(a+1)(a-1)$ 比如 $a{x}^2+bx+c=0$ 这里c是 $x^0$ 比如 $\sqrt{2}$ 在多项式中 相当于半个 变量

👉※ 有迹可循

题目的营养，大多在做完之后 针对不熟悉的解题思路，更应多花时间 看看：思维一路走过来的痕迹 这里，我们加深了对恒不等式的理解 —— 原来 多数常见 不等式 次数是齐平的 同时，也增强了分析、链接的应用 —— 原来，为了应用已有的知识，需要通过一番努力，创造应用的条件

从而，复盘解题过程，看看一路如何思考过来 可以，让知识的掌握更扎实，让分析能力更进一步

附注

已知 $a>0，b>0，c>0$ 且 $a+b+c=1$ 求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge 9$

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