〚26新高考A-1.4-三1〛☆📋

题目

已知 $m,n\in (0,+\infty )，\frac{1}{m}+n=4$，则 $m+\frac{9}{n}$ 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

导引

解答

👉※均值不等式求最值 > 代入消元，均值化归

$m+\frac{9}{n}=m+\frac{9}{4-\frac{1}{m}}=m+\frac{9m}{4m-1}$ $=m+\frac{\frac{9}{4}m-\frac{9}{16}+\frac{9}{16}}{m-\frac{1}{4}}=m+\frac{9}{4}+\frac{\frac{1}{16}}{m-\frac{1}{4}}$ $=m-\frac{1}{4}+\frac{10}{4}+\frac{\frac{9}{16}}{m-\frac{1}{4}}$ $\ge \frac{10}{4}+2\sqrt{\frac{9}{16}}=4$

等号条件：$(m-\frac{1}{4}{)}^2=\frac{9}{16}$ m=-1/2(舍) m=1 n=3

另一种化归方法 (复杂情况，直接还原更简洁) $m+\frac{9}{n}=m+\frac{9}{4-\frac{1}{m}}=m+\frac{9m}{4m-1}$ $=\frac{1}{4}+\frac{n}{4}+\frac{9(\frac{1}{4}+\frac{n}{4})}{n}$ $=\frac{10}{4}+\frac{n}{4}+\frac{\frac{9}{4}}{n}$ $\ge \frac{10}{4}+2\sqrt{\frac{9}{16}}=4$

👉柯西不等式

直接使用柯西不等式 $(\frac{1}{m}+n)(m+\frac{9}{n})=({\sqrt{\frac{1}{m}}}^2+{\sqrt{n}}^2)({\sqrt{m}}^2+{\sqrt{\frac{9}{n}}}^2)\ge (\sqrt{\frac{1}{m}}\cdot \sqrt{m}+\sqrt{n}\cdot \sqrt{\frac{9}{n}}{)}^2$ $\Rightarrow 4\cdot (m+\frac{9}{n})\ge (1+3{)}^2$ $\Rightarrow (m+\frac{9}{n})\ge 4$ 等号成立条件：$\frac{9}{mn}=mn$ 即 $mn=3$ ，让m=1，n=3，成立

👉柯西不等式 的来源，即 ※排序不等式

考虑到柯西不等式来自于均值不等式，故可以均值方法直接估计 $(\frac{1}{m}+n)(m+\frac{9}{n})=\frac{1}{m}m+\frac{9}{mn}+nm+n\frac{9}{n}=10+mn+\frac{9}{mn}$ $\ge 10+2\sqrt{9}=16$ 等号成立条件 mn=3

解析

附注

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