〚26新高考A-1.4-三6〛☆📋

题目

已知 $a,b\in R^{+}，4a+b=1$，求 $\frac{ab}{a+b}$ 的最大值

导引

解答

方案1，已知代入，恒不等式分析

1. 将 $b=1-4a$ 代入目标算式 $❀=\frac{a(1-4a)}{1-3a}=\frac{4}{9}(3a-1)+\frac{5}{9}+\frac{\frac{1}{9}}{3a-1}$ $\le \frac{5}{9}-2\sqrt{\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{9}}=\frac{1}{9}$
2. 等号条件: $3a-1=1/2$
3. 以上不等号容易出错 注意：3a-1是负数 注意：负数时，需要小于等于 注意：需要“减去”最值

方案2，已知代入，恒不等式分析 （利用分母做参数）

1. 记：$a+b=m$，有 $a=\frac{1-m}{3}，b=\frac{4m-1}{3}$
2. 故$❀=\frac{\frac{-4m^2+5m-1}{9}}{m}=-\frac{4}{9}m+\frac{5}{9}-\frac{1}{9m}$ $\le \frac{5}{9}-2\times \frac{2}{9}=\frac{1}{9}$
3. 等号条件：m=1/2
4. 与方案1，思路一致，但计算简单

方案3，利用“齐次”，直接改造目标

1. 目标变化 $❀=\frac{ab}{a+b}=\frac{ab}{(a+b)(4a+b)}=\frac{ab}{4a^2+5ab+b^2}=\frac{1}{4\frac{a}{b}+5+\frac{b}{a}}\le \frac{1}{5+2\sqrt{4}}=\frac{1}{9}$
2. 方法解释 本质，还是“代入，然后不等式分析 但这里代入，是“$1=4a+b$”的代入 为什么这么代入？ ——$\frac{ab}{a+b}$ 分子是2次，分母是1次 ——实际能评估的次数是 $x+\frac{1}{x}$ 是1次和-1次，或者 $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$是0次和0次，或者也看作1次和-1次

方案4

$❀=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(4a+b)=4+4\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge 9$

解析

附注

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