〚26新高考A-1.4-五4〛☆☆💯

题目

已知 $a>0，b>0$，且 $ab=1$ ，求 $\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a+b}$ 最小值

导引

解答

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a+b}$ $=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2b}+\frac{8}{\frac{1}{b}+b}$ $=\frac{1}{2}b+\frac{1}{2b}+\frac{8b}{1+b^2}$ 三项相等，难以保证 $=\frac{1}{2}(\frac{1+b^2}{b})+\frac{8b}{1+b^2}$ $\ge 2\sqrt{4}=4$

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a+b}$ $=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8ab}{a+b}$ $=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ $\ge 2\sqrt{4}=4$

$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{8}{a+b}$ $=\frac{ab}{2a}+\frac{ab}{2b}+\frac{8}{a+b}$ $=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{8}{a+b}$ $\ge 2\sqrt{4}=4$

验证等号成立，略

解析

附注

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