〚26新高考A-1.4-高4〛☆☆👍

题目

(多选) 已知 $x>0,y>0,2x+y=1$,则( ) A. $4^x+2^y$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$ B. $lo{g}_{₂}x+lo{g}_{₂}y$ 的最大值为-3 C. $y-x-xy$ 的最小值为-1 D. $\frac{2x^2}{x+2}+\frac{y^2}{y+1}$ 的最小值为$\frac{1}{6}$

导引

解答

A. OK 直接来至于均值不等式 $4^x+2^y\ge 2\sqrt{2^{2x+y}}=2\sqrt{2}$ 看似正常解法，但不能理解为唯一 可以代入，再分析 $4^x+2^y=2^{1-y}+2^y=2\cdot 2^{-y}+2^y\ge 2\sqrt{2\cdot 2^{-y}\cdot 2^y}=2\sqrt{2}$

B. OK $lo{g}_{₂}x+lo{g}_{₂}y=lo{g}_{2}xy=lo{g}_2\frac{1}{8}\cdot 8xy\le -3+lo{g}_2(2x+y{)}^2=-3$

C. 不 OK $y-x-xy=(y+1)(1-x)-1$

$y-x-xy=1-2x-x-x(1-2x)=1-4x+2x^2$ $=2(x-1{)}^2-1$ $\le -\frac{1}{2}当x=\frac{1}{2}$ $0<x<\frac{1}{2}$ 最小值，取不到

D. OK 让 x+2=a，y+1=b，有 2(a-2)+b-1=1，即 2a+b=6 $\frac{2x^2}{x+2}+\frac{y^2}{y+1}$ $=\frac{2(a-2{)}^2}{a}+\frac{(b-1{)}^2}{b}$ $=2a-8+\frac{8}{a}+b-2+\frac{1}{b}$ $=\frac{8}{a}+\frac{1}{b}-4$

$❀\cdot (2a+b)=16+2\frac{a}{b}+8\frac{b}{a}+1-24$ $\ge 17+8-24=1$

或者，将 6=2a+b代入

解析

附注

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