寻找更多勾股数（平方差构建法）

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题目

勾股定理，几何中占据基础地位 勾股定理入门，常从3、4、5这一组数开始 符合勾股定理的“整数”，称之为勾股数 ——比如3×3+4×4=5×5 ——比如5×5+12×12=13×13 问题：找出100以内所有勾股数？

更多勾股数

找到再多一些的勾股数 ——自然的、基础的、有趣的数学问题

也是成熟的数学问题，费马、欧拉给出过精彩的结论。 也无意复述清晰的解答，AI做的更好。

想的是：依赖初中知识（甚至低至小学奥数）+好思维，在这道题上能做点什么？以浅浅的知识，以稚嫩的思维，也有机会把100以内的勾股数都找出来。体会一下“数学”的样子——窃以为，这份努力就是数学的样子。

方法，初中知识足以

对 $a^2+b^2=c^2$ 稍加变化，$a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)=m\times n$ 由此，得到一个很简单的步骤

1. 给定直边长a，比如a=8
2. 计算平方：8×8=64
3. 写成乘积：8×8=64=32×2
4. 写成平方差：8×8=64=32×2=(17+15)(17-15)
5. 得勾股定理：8×8=17×17-15×15 得到勾股数：8、17、15

一些示例

• $5^2=25=13+12=(13+12)\times (13-12)=13^2-12^2$
• $6^2=36=18\times 2=(10+8)(10-8)=10^2-8^2$
• $6^2=36=18\times 2=(10+8)(10-8)=10^2-8^2$
• $6^2=36=18\times 2=(10+8)(10-8)=10^2-8^2$
• $7^2=49=25+24=(25+24)\times (25-24)=25^2-24^2$
• $9^2=81=41+40=(41+40)\times (41-40)=41^2-40^2$
• $11^2=121=61+60=(61+60)\times (61-60)=61^2-60^2$
• $13^2=169=85^2-84^2$
• $15^2=225=225\times 1=(113+112)\times (113-112)=113^2-112^2$
• $15^2=225=75\times 3=(39+36)\times (39-36)=39^2-36^2$
• $15^2=225=45\times 5=(25+20)\times (25-20)=25^2-20^2$

一点概念细节

3、4、5是一组勾股数 6、8、10也是一组勾股数 不妨称：3、4、5是基础勾股数，6、8、10是倍乘勾股数 基础勾股数和它的倍乘勾股数，形成一个勾股数簇 我们比较关注的，当然是：基础勾股数

基于20以内的所有勾股数

1. 以上“15、46、49”计算错误，正确的是“15、36、39” ——故 ⑩号不存在，属于 5、12、13一族
2. 以上，一共15组基础勾股数，其中有几个日常可见

15组基础勾股数

3、4、5 5、12、13 7、24、25 8、15、17 9、40、41 11、60、61 12、35、37 13、84、85 15、112、113 16、63、65 17、144、145 36、77、85 19、180、181 20、101、99 20、21、29

以上15个中，前5个和最后1个，日常题目中有机会碰到

一份图示

看看这15组基础勾股数的形状

附（一）：勾股数的最大最小范围

如果Rt▲一条直角边是10cm， 那，另一条直角边可以非常长，无限长，斜边也跟着非常长 比如a=10，b=50、51、80、1000…，都没问题 都能找到对应的c，组成一个直角三角形

如果限定在“整数”，就不对了 若一直角边长度定为整数a，则另两边（整数）b、c需要满足 $\sqrt{2a+1}\le b\le \frac{a^2-1}{2}，a+1\le c\le \frac{a^2+1}{2}$

即，当a=10； 则，另一直边b不能小于5不能大于50 太小、太大，都不可能组成3个满足勾股定理的整数边长

背后道理，有两种理解

理解方式一，依赖于上面的求解公式

1. 基于$a^2=M\times N=(c+b)(c-b)$
2. 当M、N的差最大时 $c=\frac{M+N}{2}\le \frac{a^2+1}{2}$ $b=\frac{M-N}{2}\le \frac{a^2-1}{2}$
3. 当M、N的差最小时，b最小 合适M、N差最小？并不是 $M=2a，N=\frac{a}{2}$
4. 怎么求最小？利用对偶，大概可以 将 $b=\frac{M-N}{2}\le \frac{a^2-1}{2}$ 中的a、b对换 即：$a\le \frac{b^2-1}{2}$ 即：$b\ge \sqrt{2a+1}$
5. 进一步，根据b的最小值，求c的最小值 $c=\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{a^2+2a+1}=a+1$ 非常合理
6. 窃以为，以上4、5两步处理，挺不错的

理解方式二，自然的解读理解

1. 当一直角边=a，另一直边b很大，但需要满足c≥b+1 即需要满足： $(c=)\sqrt{a^2+b^2}\ge b+1$ 整理，易得：$a^2\ge 2b+1$，即：$b\le \frac{a^2-1}{2}$ 此时，$c=\sqrt{a^2+b^2}\le \sqrt{a^2+(\frac{a^2-1}{2}{)}^2}=\frac{a^2+1}{2}$ 此时，$c=\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{2b+1+b^2}=b+1$
2. 当一直角边=a，另一直边b很小，但也需要满足c≥a+1 即需要满足： $(c=)\sqrt{a^2+b^2}\ge a+1$ 整理，易得：$b^2\ge 2a+1$，即：$b\ge \sqrt{2a+1}$ 此时，$c=\sqrt{a^2+b^2}\le \sqrt{(\frac{a^2-1}{2}{)}^2+b^2}=\frac{b^2+1}{2}$ 此时，$c=\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{a^2+2a+1}=a+1$
3. 窃以为，以上思路挺好 最大、最小，简单、清晰、对称

或还有其他手段，抛砖引玉，静待高见！

附：关于“方式二的道理来源 即，这个解读，怎么想到的？ ——来自于对整数平方、开平方的理解 ——如下 当一个数很小，比如37，一个数很大，比如2000 那么$\sqrt{37^2+2000^2}$ 无论如何都不是整数 把2000换成2001、2002、…，也都不行 因为：37力量太微弱了，不足以让平方根+1 即，$2000<\sqrt{37^2+2000^2}<2001$ 那，还怎么可能是整数！

以上，这些有什么用? 好像没什么用 数学的有趣便在于这自由而无用

附（二）：规避重复簇

通过$60^2$ 能得到哪些勾股数

1. $60^2=3600$
2. $3600=2^4\times 3^2\times 5^2$ 3600 共有 （5×3×3=）45 个因子 3600=A×B，共有23个不同的分解方法
3. 3600能得到23组勾股数吗？ 也对，的确23组；也不对，其中很多属于同一簇
4. $60^2=900\times 4=(3600$ 如果考虑成比例缩放，其中有一些是成倍放大后的勾股数
5. 例如 $3600=20\times 180=(100-80)(100+80)=100^2-80^2$ 60、100、80是一组倍乘勾股数
6. 例如 $3600=6\times 600=(\frac{600+6}{2}-\frac{600-6}{2})(\frac{600+6}{2}+\frac{600-6}{2})=303^2-297^2$ 60 303 297 是一组倍乘勾股数 因为：m=6是3的倍数，n=600是3的倍数 因此，得到的c=(m+n)/2，b=(m-n)/2，指定也是3的倍数 那么，加上a也是3的倍数，就不是一组基础的勾股数了
7. 清晰一点的结论 3600=m×n 如果希望得到基础的勾股数，那么几乎相当于要求m、n互质 如果m、n有公约数4，肯定不行 如果m、n有2之外的公约数，肯定不行
8. 严谨完整的分析（略）

这又是一份自由而无用的思考

附（三）：思路怎么来的？

以下数学知识、底层逻辑、思维能力的积累 是能原生的决这个问题的土壤

1. 质因数分解
2. 整数因数分解，因数个数等相关知识
3. 差大积小
4. 平方差公式的底层逻辑——平方差、乘积之间建立关联 比如，35×9=(22+13)(22-13) 这里，22=(35+9)/2，13=（35-9)/2
5. 约束形式的转化，勾股定理得以转化
6. 原生思考一个问题的兴致和心理建设
7. 关于平方根的一些理解、体会
8. 基础的正推、倒推解题思维
9. … … 这些内容，不是哪一个能直接解决问题 这些内容，综合起来，形成了一个人的综合能力 这些内容，浅浅的了解，用时未必能想到；学习是深入一点，方能“呼之即来”

注： 原生思考，即：不依赖他人提示、不依赖他人结论，依赖普通知识自己独自思考解决

附（四）：一些最原始的念头

最初、最原始的念头 窃以为，这是最底层、最基础的能力 然，难以表述 尝试做一些分享（看到这里的朋友，大概有兴趣再多看一些了）

（1）👉倒推聚焦 👉正推发散、👉倒推聚焦，解题常见的起手式。 然，这题着实没啥条件，正推难为，倒推成了不得已的起点。 倒推，推什么？ 倒推，要看看：目标是什么样子，大概是什么规模，哪些是关键，哪些不重要…等等 倒推，只要能开始，大抵不难有如下理解：

1. 勾股数，的确有更多，比如7、24、25，谢出题人不坑之恩
2. 勾股数，预期也不会特别多。 ——故，适当的借用枚举未尝不可；谢出题人善良 ——作为相反，如果找1000000以内的勾股数，枚举依然有启发价值，但不能是思考的终点。幸好不如此。凭空提升廖幸福感。
3. 勾股数，能分组：（3，4，5）（6，8，10）（9，12，15）…理论上是不同的勾股数，但它们对应的直角三角形大小不同形状相同，很容易从1个得到其他。我们可以把这些称之为“一簇”，只找到最小的那个即可。有了点干货。 以上，还算轻松；接下来，真刀真枪了一点

（2）👉正推发散、👉※向下思考，向上抽象

1. 失败的分析，从3、4、5开始，3×3+4×4=5×5，似乎什么也得不到
2. 从 5、12、13分析，有了一点启发，12、13只差1，这是“特征” 特征即信息
3. 进一步，5×5=25，勾股定理，想到平方，是应该的
4. 再进一步，12+13=25
5. 如此，距离想到平方差只有一步之遥 25=1×25=(13-12)(13+12)
6. 验证，3、4、5满足
7. 验证，7、24、25满足

（3）初步结论 以上计算的【底层逻辑】，是： $只要满足：c-a=1，c+a=平方数；即可构造出一组勾股数$ 反之：将平方数拆开，$比如7^2=49=25+24$，即可得c和a $c-a=1,c+a=49$ 这是很小的一小步，却是“思考”中质的变化

1. 这个【底层逻辑】，从3、4、5的平方差关系中开始思考，加以演绎
2. 分析→归纳总结→演绎，是很好的结构化系统化学习方法

（4）哪些必须的，哪些是可变的？ ——常是深入理解问题的突破口

1. 以上结论，仅对奇数成立；但实际上：这个限制并不存在
2. 以上结论中，要求：c-a= 1，c+a=平方数 这里，c-a=1，差=1，是必须的吗？ ——未必
3. 真正需要的是：$c-a=m；c+a=n；mn=平方数$
4. 即 有个直角边，长度=15；如何寻找两外两条边长（斜边c、直角边a）呢 $第1步，15^2=225$ $第2步，15^2=225=75\times 3$ $第3步，15^2=c^2-a^2=(c+a)\times (c-a)$ $比较以上2步，c+a=75，c-a=3；故：c=39，a=36$ 参考 数学表达 > 中值表达方式，这里，39是75和3的中值，36是75和3距离中值的差

（5）实质的推理，反而不是最难 当进入 $a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)$ 之后的逻辑分析，反而相对轻松，一种进入“正轨”的感觉 … …

以上，（一）（二）（三）（四）（五）每一步都不难 难的是，方向大差不差 难的是，能坚持下来

写在最后

做这类思考，什么意义？

从当下而言，或就是没什么意义，无助于多考几分 从长期把数学学好而言，或这是真正学好数学的唯一路径 至少，是非常好的路径

此抛砖引玉 供一些参考 学习阶段，需要一些重复造轮子 还在上中学的小朋友，自己想过了，才是自己的，也会比我想的更好

早期文字

最初的问题

3、4、5是一组勾股数，即：$3^2+4^2=5^2$

类似的勾股数还有那些？ ——6、8、10，当然对； ——但，这属于同一家族，即3、4、5的简单的倍数放大

如何找到更多的，类似9、40、41这类，其他勾股数家族？

或许 ——当我们学过$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ ——当我们乐于、适当善于：不断的分析、归纳总结、演绎 ——或许，有机会漂亮的从某个层面解决这个问题

对勾股数的熟悉，对考试也有很好的直接帮助 同时是数学能力的练习——练习分析能力、归纳总结能力、演绎能力

关键进展

一个感性的示例 $3^2=9=(5+4)=(5+4)\times （5-4）=5^2-4^2$ 一个不完全归纳

• $5^2=25=13+12=(13+12)\times (13-12)=13^2-12^2$
• $6^2=36=18\times 2=(10+8)(10-8)=10^2-8^2$
• $6^2=36=18\times 2=(10+8)(10-8)=10^2-8^2$
• $6^2=36=18\times 2=(10+8)(10-8)=10^2-8^2$
• $7^2=49=25+24=(25+24)\times (25-24)=25^2-24^2$
• $9^2=81=41+40=(41+40)\times (41-40)=41^2-40^2$
• $11^2=121=61+60=(61+60)\times (61-60)=61^2-60^2$
• $13^2=169=85^2-84^2$

更清晰的结论

示例：

• $9^2=81=27\times 3=(15+12)\times (15-12)=15^2-12^2$
• $注：15=\frac{27+3}{2}；12=\frac{27-3}{2}$ $15^2=225=mn$，分解不唯一，结果有多个
• $15^2=225=225\times 1=(113+112)\times (113-112)=113^2-112^2$
• $15^2=225=75\times 3=(39+36)\times (39-36)=39^2-36^2$
• $15^2=225=45\times 5=(25+20)\times (25-20)=25^2-20^2$

The end.

很早之前的日志 2024.07.11 整理 丽水 2026.10.15 重新整理为适合他人看到文字