三边关系-规则一览

基础的三边关系

任意a、b、c

约束条件$\{\begin{array}{c}a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{array}$ 注1 约束条件不能是只一个“a+b>c”，需要三个同时满足 注2 这三个条件，隐含了“a>0，b>0，c>0”这些信息

• 解释1 ——由a+b>c，得a>c-b； ——由c+a>b，得a>b-c； ——c-b和b-c必然有一个大于等于0，故a>0
• 解释2 ——若a<0 ——不防假设 b≤c，则 b+a>c 无法成立
• 解释3 ——将 “a+b>c”、“c+a>b”相加，可得

任意a、b、c —— 减法条件

约束条件$\{\begin{array}{c}a>c-b\\ b>a-c\\ c>b-a\end{array}$ 不正确的约束$\{\begin{array}{c}a>c-b\\ b>a-c\\ c>a-b\end{array}$

• 不正确的原因：第2、3两个不等式是同一个，实际缺少一个约束
• 因此，写成减法，要非常小心 判断方法
• 正确的减法不等式组，被减数需要a、b、c都要出现
• 不正确的减法不等式组，被减数中a出现了2次，b没有出现
• 这是个奇怪的冷知识

任意a、b、c —— 单边条件

约束条件 $max[(b-c),(c-b)]<a<b+c$ 这个条件，当已知两条边（b、c）长度时，非常好用

• 比如 b=17，c=2，边长a需满足 $17-2<a<17+2$
• 即，整数范围内只有 16、17、18 三个可能值

已知两边大小关系

比如，当“b≥c”，约束变为 $\{\begin{array}{c}b+c>a\\ c+a>b\end{array}$ 或者$b-c<a<b+c$ 特别的，当“b=c”，即“等腰”时 $0<底<2腰$ 注：此时只有两个不等式，第三个不等式被b>c替代了

已知最长边（含三边顺序）

已知“a≥b，a≥c”，或者，已知“a≥b≥c”，则三边约束简化为 $b+c>a$注：此时只有1个不等式，另2个被“a≥b、a≥c”替代

已知等腰三角形

已知“a=b”，则三边约束简化为 $0<c<2a$

周长、最长边、三高等推论

三高关系与三边关系等价

• 考虑到 ： $a{h}_a=b{h}_b=c{h}_c=面积\times 2$
• 即：$a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}$
• 故：$a、b、c的所有关系等价为\frac{1}{h_a}、\frac{1}{h_b}、\frac{1}{h_c}的关系$
• 比如最常见的 $a+b>c$，等价于 $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}$

周长、最长边的2倍、3倍

约束条件$\frac{周长}{3}\le 最长边<\frac{周长}{2}$ 或者 $最长边\times 2<周长\le 最长边\times 3$ 注

• 一个条件，来至于“最长”定义，可以“=”
• 一个条件，来至于“三边约束”，“≠”

等腰三角形

底层逻辑：“三边关系”+“等腰特性”=“等腰▲三边关系” 等腰▲三边关系

1. 充要条件：$周长÷4<腰<周长÷2$
2. 充要条件：$0<底<周长÷2$
3. 充要条件：$0<底<2腰$ 注：

• $周长÷4<腰、底<周长÷2、底<2腰$ 来自于 “三边关系”
• $腰<周长÷2、0<底$ 来自于“边长>0”

顺序枚举的应用与巩固，规律性规则感

目的：学会“顺序枚举”，进一步拓展为理解“枚举过程中需要‘规则限制’” 根据边长限制，枚举所有可能的情况 ——不重复、不漏掉起见，【顺序枚举】是有效的方法 这里“顺序”，不是针对a，从小到大；这里“顺序”，是，a、b、c满足a≤b≤c 【自由参数】方法常有利于分析问题