循环小数

摘要

• 正常情况，要求较低，掌握基础方法即可；
• 学有余力，数学为主要方向，值得花时间。很好的主题，功不唐捐 玉汝于成。
  • 弄明白背后细节与道理，扎实理解知识点
  • 增强基础的分析能力，增强基础的思维模式
  • 完善学习模式、提高学习能力
• 关联主题
  • 抽屉原理
  • 等比数列
  • 方程方法
  • 化归思想
  • 数字结构

典型问题

1. 0.99999999…=1，对吗？
2. 如果$\frac{1}{a}$ 可以除尽，那么数字a具有什么性质？
3. 如果$\frac{6}{b}$ 可以除尽，那么数字b具有什么性质？
4. $\frac{7}{3627}$是否一定是循环小数？为什么？
5. 三进制中$\frac{1}{3}$的小数是多少？
6. 将循环小数转为分数
   • 根据$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$ ，推理 $0.\dot{5}=\frac{?}{?}$
   • 根据以上结论，推理 $0.\dot{1}=\frac{?}{?}$
   • 根据以上结论，推理 $0.\dot{0}\dot{1}=\frac{?}{?}$
   • 根据以上结论，推理 $0.\dot{1}\dot{3}=\frac{?}{?}$
   • 根据以上结论，推理 $0.\dot{3}2\dot{7}=\frac{?}{?}$
   • 根据以上结论，推理 $0.00\dot{3}2\dot{7}=\frac{?}{?}$
   • 根据以上结论，推理 $0.06\dot{3}2\dot{7}=\frac{?}{?}$
7. 循环小数加法（结果用循环小数表示）
   • 计算：$0.\dot{3}+0.\dot{5}=?$
   • 计算：$0.\dot{3}+0.\dot{8}=?$
   • 计算：$0.0\dot{5}\dot{6}+0.00\dot{8}\dot{1}\dot{4}$

学什么

1. 分数=除法，为什么？
2. 若除不尽，为什么一定循环？若除尽，需要满足什么条件？
3. 如何理解0.999…=1？
4. 循环小数化分数的两个思路
   • 构造思想 ——从1/3开始，构造”单位循环小数“
     • 0.1111…=?
     • 0.010101…=?
     • 0.001001001…=?
   • 化归方法——解决复合循环小数的转化
   • 自约束关系 方程/方程思想 ——循环小数自己含有约束信息（等比数列）
5. 循环小数化分数的具体方法
   • 基础方法
     • $0.aaa...=\frac{a}{9}$
     • $0.ababab...=\frac{ab}{99}$
     • $0.abcabcabc...=\frac{abc}{999}$
   • 延申方法
     • $0.0aaa...=\frac{a}{90}$
     • $0.00ababab...=\frac{ab}{9900}$
     • $0.57abcabcabc...=\frac{57abc-57}{99900}$
6. 结论与方法 ——优先方法，其次是结论
   • 有了思路，一定有方法；会方法，未必了解思路
   • 方法容易忘记，思路保质期更长
   • 比如：$0.57abcabcabc...=\frac{57abc-57}{99900}$，看似很酷，实则无用
   • 其思路是：
     • $0.57abcabcabc...=0.57+0.abcabc...÷100=\frac{57}{100}+\frac{abc}{99900}$
     • 另 $\frac{57}{100}=\frac{57\times 999}{99900}=\frac{57000-57}{99900}$
     • 故：结论显然
7. 循环小数加法
   • 方法一：分数方法
   • 方法二：寻找法则、利用法则
     • 法则1，双进位
       • $0.00\dot{5}\dot{6}+0.00\dot{8}\dot{1}=0.01\dot{3}\dot{7}+0.00\dot{0}\dot{1}$
       • 这里 $0.01\dot{3}\dot{7}中的0.01，是循环节外的进位$
       • 这里 $0.00\dot{0}\dot{1}，是循环节内的进位$
     • 法则2，循环对齐
       • 2位循环节+3位循环节=6位循环节

       =0.05\dot{6}5656\dot{5}+0.00\dot{8}1481\dot{4} \\
       

       =0.06\dot{4}7138\dot{0}
       }$$
       * 计算竖式与验算
           * ![[59f81530c73535a8cbcc2d924d9c84d.jpg]]
       

8. 【拓展】问题中的底层逻辑
   • 循环小数的底层逻辑：等比数列
     • $\mathrm{0.12121212...}=12÷100+12÷10000+12÷$
   • 双进位的底层逻辑：0.999…=1
     • 比如$0.00\dot{5}\dot{6}+0.00\dot{8}\dot{1}=0.01\dot{3}\dot{7}+0.00\dot{0}\dot{1}$
     • 可以理解为：$$\begin{gathered} \text{displaylines}0.00\dot{5}\dot{6}+0.00\dot{8}\dot{1}=0.0(\dot{1}\dot{3}\dot{7})=0.0(\dot{9}\dot{9})+0.0(\dot{0}\dot{1})+0.0(\dot{3}\dot{7}) \\ =0.01+0.0(\dot{0}\dot{1})+0.0(\dot{3}\dot{7}) \end{gathered}$$

专题【逻辑】：若除不尽，则一定循环

结论

分数化小数，若除不尽，则一定循环

为什么？

首先，余数一定会重复（抽屉原理）

1. 除数，比如3/29，除数29是个有限大小的数；余数不能大于除数，只能是1、2、3、…、28
2. 同时，在29步之后，一定得到了29个余数
3. 根据 抽屉原理，这29个数中，至少有2个数是重复的

其次，重复便会循环

1. 每一步，都产生一个“余数”；每个“余数”都是一个新的“被除数”
2. 每一步，产生的“余数”是几，取决于上一个“余数（被除数）”是几
3. 基于以上两点 一旦，这个“余数（被除数）”产生重复， 那么，这个“余数（被除数）”的数列，便开始循环

小推论：循环节的长度<分母

比如：1/7，转化成小数后，循环节的长度<7 比如：5/13，转化成小数后，循环节的长度<13 比如：3/46，转化成小数后，循环节的长度<46 至于为什么？ ——原因就是抽屉原理 ——如果还想不通——重新看上面“为什么循环”的说明

专题【思维】：方法中的化归思想

循环小数→分数，初看不容易； 但，先从简单问题分析；后将复杂问题化归为简单问题，认真思考下也并不难

化归的体现1

• 首先，我们知道
  • $\mathrm{0.11111.....}=\frac{1}{9}$ 或者 $\mathrm{0.33333.....}=\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$
• 那么，是否能想到
  • $\mathrm{0.0101010101...}=\frac{1}{99}$
• 这里，便用到了一个化归动作
  • $\mathrm{0.0101010101...}=\mathrm{0.1111111111...}÷11$
  • 即：
    • $\because \mathrm{0.1111111111...}=\frac{1}{9}$
    • $\because \mathrm{0.0101010101...}=\frac{1}{9}÷11=\frac{1}{99}$
• 这个处理，或可以看懂；但更值得关注的是：
  • 每个人自己，如果能在更多的问题上想到、甚至熟练应用类似处理？

化归的体现2

• 当，我们知道了
  • $\mathrm{0.0101010101...}=\frac{1}{99}$
• 那么，如何计算
  • $\mathrm{0.3737373737...}=？$
• 这，又是一次化归

化归的体现3

• 当，我们知道了
  • $\mathrm{0.3737373737...}=\frac{37}{99}$
• 那么，如何计算
  • $\mathrm{1.003737373737...}=？$
• 这，又是一次化归
  • $\mathrm{1.003737373737...}=1+\mathrm{0.3737373737...}÷100$
  • 将等号左边复杂一点的问题，化归为右边较简单的问题+四则运算

专题【思维】：特征思想的应用

循环小数，0.3737373737…具有明显的特征 特征，即信息，即约束 这个特征如何用来解决问题？

特征的推理变化

• 这里的特征是什么？
  • 是：循环往复
• 这个特征的另外的体现是什么？
  • 是：左右移动一下，还是它自己
  • 是：截断一部分，它还是它自己

这个推理变化，进一步体现为

• $\mathrm{0.3737373737...}\times 100=\mathrm{37.3737373737...}$
• 如果定义0.3737373737=A，即：
  • $A\times 100=37+A$
  • 易得：99A=37，即A=37/99
• 这便是特征分析的价值
• 其难点是：特这个的推理变化——这个变化的理解，是进一步利用的基础
• 看起来神奇、有点难的方法，只要思维到位，也是水到渠成，自然而然

专题【思维】：※ 规则化公式化

循环小数的加减——有点偏门、但又有趣的问题 比如：$\mathrm{1.0373737...}+\mathrm{0.98251251251...}=？$即：$1.0\dot{3}\dot{7}+0.98\dot{2}\dot{5}\dot{1}=？$ ——问题本身简洁明了，实际处理起来就有点头疼 此时我们若有时间，便希望能找到一个清晰的处理规则

逐步分析

如何完成 0.111…+0.222…=？

• 简单！ $\mathrm{0.111...}+\mathrm{0.222...}=\mathrm{0.333...}$

如何完成 0.555…+0.888…=？

• 需要一点小思考，也不难
  • $\mathrm{0.555...}+\mathrm{0.888...}=\mathrm{1.444...}$
• 注意：你是否有$\mathrm{0.555...}+\mathrm{0.888...}=\mathrm{1.333...}$ （这是不对的！）
• 此时，规则是什么？
  • ——逢9进1
  • ——这个规则对，但不是特别好。继续分析

如何完成 0.373737…+0.868686…=？

• 考虑到
  • 37+86=123=24+99
  • 0.999…=1
• 故，正确答案是
  • $\mathrm{0.373737...}+\mathrm{0.868686...}=\mathrm{1.242424...}$
• 此时，规则是什么
  • ——逢99进1？

如何完成 0.373737…+0.868686…+0.777777…=？

• 这里，37+86+77=201
• 所以，以下答案，那个正确？
  • $\mathrm{0.373737...}+\mathrm{0.868686...}+\mathrm{0.777777...}=\mathrm{2.010101...}$
  • $\mathrm{0.373737...}+\mathrm{0.868686...}+\mathrm{0.777777...}=\mathrm{2.020202...}$
  • $\mathrm{0.373737...}+\mathrm{0.868686...}+\mathrm{0.777777...}=\mathrm{2.030303...}$
• 此时，总结出的计算规则，又是什么？

最后的规则

• 题目
  • 1.0373737…+0.98251251251…+2.786786786…=？
• 计算 *

另外的方案

利用化归思想，你会想到都变成分数 这个思想很好，实际做下来——你可能会后悔选择这条路