简单命题 \begin{cases} 内容 \begin{cases} 性质命题（是、不是） \\ 关系命题（大于、小于、属于、包含） \end{cases} \\ 量词 \begin{cases} 全称（任给，\forall，forall） \\ 特称（存在，\exists，exists）\\ 单称（a、x、\sqrt{2}） \end{cases} \end{cases}\\ \\ 复合命题 \begin{cases} 联言命题：p\ 且\ q \\ 选言命题：\begin{cases} p\ 或\ q \\ 要么p，要么q \end{cases} \\ 负命题：并非p \end{cases} \\ \\ 条件命题 （假言命题）\begin{cases} 如果p，那么q \\ 只有p，才q \\ 当且仅当p，那么q \end{cases} \end{cases}$$ | 原 | 否定 | 示例 | | ------------------------------- | ------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | 是 | 不是 | | | 都是 | 1. 不都是<br>2. 至少一个不是<br>3. 错误：都不是 | | | 大于 | 1. 不大于<br>2. 小于等于 | | | 小于 | 1. 不小于<br>1. 大于等于 | | | 对所有x成立 | 1. 不对所有x成立<br>2. 至少一个x不成立<br>3. 错误：对所有x都不成立 | 原：不论k取任何实数，$x^2+x+k=0$必有实数根<br>否：存在一个k，$x^2+x+k=0$ 没有实数根<br>原：正n（n≥3）边形的n个内角全相等<br>否：==存在==正n（n≥3）边形的n个内角==不全==相等 | | 对任意x不成立 | 1. 不对任意x不成立<br>2. 至少一个x成立<br>3. 错误：对任意x成立 | | | 至少有一个 | 一个都没有 | | | 至多有一个 | 1. 有2个或以上<br>2. 至少有2个 | 原：三角形至多有一个钝角<br>否：==存在==三角形，==至少有二个==钝角 | | 至少有n个 | 最多有n-1个 | | | 至多有n个 | 至少有n+1个 | | | p 或 q | not p 且 not q | 原：张三是科大或北大的学生<br>否：张三既不是科大也不是北大的学生 | | p 且 q | not p 或 not q | | | $\forall A，\exists B\ s.t.\ C$ | $\exists A，\forall B\ s.t.\ \neg C$ | [[〚26新高考A-1.2-高2.2〛📋]] | | 如果p，那么q | p 且 not q | 原：如果$x^2-x-2=0$，那么$x≠-1$且$x≠-2$<br>否：如果$x^2-x-2=0$，那么$x=-1$或$x=-2$<br>否：$x^2-x-2=0$ 且 （$x=-1$ 或 $x=-2$ ）<br>注：第1个否，《精编》例题答案，存疑 | ## 命题的否定，底层逻辑是“补集” ### “单称命题”的否定=“补集” 原命题：a>0 否定形式：a≤0 ==a>0与a≤0互为补集== 这容易理解 ### “全称命题”的否定 1. **示例** 原命题：三角形内角和是180° 否定形式：存在一个三角形内角和不等于180° 2. **规则** $\forall x,\ p(x) \rightarrow \exists x,\ \neg p(x)$ 3. **可能的疑惑** 任意x，满足p(x)； 否定方法A：任意x，不满足p(x)； 否定方法B：存在x，不满足p(x)； 为甚B正确，A不正确？ 4. **否定的目标** 命题的否定，即命题的否定形式，即从含义上否定这句话。 其一个明确的表现：==原命题、命题的否定，必然一真一假== 这是语义否定的主要目的，也是主要表现。 5. **否定的理解：依然是补集** 示例中：三角形内角和是180° 这里“针对三角形内角和的表述的‘**全集**’”包括： ——{①全部都是180；②全部都不是；③部分是部分不是} 这里，==互为补集体现为：== ——原命题讲的是：{①} ——否定形式讲：{②，③} 注：“存在一个不是”是“②全部都不是+③部分是部分不是”的一个简洁表述。 注：这里所谓的“全集”这个几何，是对内角和“表述”的集合，不是三角形的集合 注：按“补集”的角度去理解否定形式，更能明白背后的道理。但实际做题中，直接按规则行程否定形式即可。 ![[知识/高中/2，逻辑/数理逻辑/attFiles/260914-2.png]] ![[知识/高中/2，逻辑/数理逻辑/attFiles/260914-1.png]] 陈老师，以上，我认为第（5）答案有问题 （一）错误的地方 原命题：如果 x^2-x-2=0， 那么 x≠-1 且 x ≠-2 （假） 答案给的否定形式：如果 x^2-x-2=0，那么 x=-1 或 x =-2 （假） 这里，命题与命题的否定形式，都是假命题，这不应该 （二）正确答案 考虑到条件命题（假言命题）实质为 全称命题（for all）；因此其否定形式应该为特称命题（exists) 即，正确的否定形式应该是：存在 x^2-x-2=0，使得 x=-1 或 x =-2 （真） （三）进一步思考 进一步思考了下，这种错误方法，有一种必然出错的情况。 当条件命题，结论仅对部分情况部分正确，命题为“假” 若仅否定结论，则只针对（另一）部分情况正确，还是部分正确，此时命题依然“假” 否定形式、原命题同时为“假”，“仅否定结论”此时必然出错。 请您百忙之中，抽空帮忙确认一下 但如果改一下数字，如下，同时为假，这就不对了 原命题：如果 x^2-x-2=0， 那么 x=2（假） 否定形式：如果 x^2-x-2=0，那么 x≠2 （假） （二）正确的理解 条件命题（假言命题），相当于 全称命题(for all) 因此他的否定形式，应该是 特称命题(exists) 因此： 原命题：如果 x^2-x-2=0， 那么 x≠-1 且 x ≠-2 （假） 否定形式：存在 x^2-x-2=0，同时 x=-1 或 x =-2 （真） 原命题：如果 x^2-x-2=0， 那么 x=2（假） 否定形式：存在 x^2-x-2=0，同时 x≠2 （真） （三）一定错误的情况 其结论，是对范围的判断 全称判断，部分正确，那么命题错 依然全称判断，部分的补集，因为不包含的正确的部分，依然不满足全部正确，命题依然错 如果 判断在答案内，且更小，那么为假 但是 其结论的否定，包含真 包含假，也为假 比如，如果 x^2<9，那么 0<x<3 (假) （充分但非必要，逆命题，为假） 如果 x^2<9，那么 x≤0 或 x≥3 (假) 即：仅仅否定结论，并不能让命题的“真假”产生对立，可以同时为“假” 原命题：如果 x^2<9, 那么 -4<x<4 (真) （虽然题目做错，但命题对） 否定结论：如果 x^2<9, 那么 x≤-4 或 x≥4 (假) 否定形式：存在 x^2<9, x≤-4 或 x≥4 (假) a+b>10 那么 a>9 且 b>9 (充分 非必要 命题真，逆命题假) a+b>10 那么 a≤9 或 b≤9 （排除了“充分”的情况，所以也错） 隐含，对所有的都为真 if x>3 then x^2>9 x>3 x^2>9 存在 x>3 s.t. x^2≤9 x≤3 x^2>9 否命题 x≤3 x^2≤9本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。