本节为 Obsidian 动态视图（自动关联列表），网页版暂不展示。

二维形式

针对任意 a、b、x、y $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2等号成立条件ay=bx$ 针对 a>0 b>0 x>0 y>0 $(a+b)(x+y)\ge (\sqrt{ax}+\sqrt{by}{)}^2等号成立条件ay=bx$

柯西不等式的证明与解读

证明

1. 展开 $(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$
2. 即： $a^2{x}^2+(a^2{y}^2+b^2{x}^2)+b^2{y}^2\ge a^2{x}^{+}2axby+b^2{y}^2$
3. 左右比较，即：$a^2{y}^2+b^2{x}^2\ge 2axby$

解读

1. 柯西不等式，背后是，均值不等式
2. 左边展开，全是平方项乘积；右边，包含混合乘积 ——平方项，相当于顺序乘积； ——混合项，相当于逆序或乱序乘积 ——故左边大，右边小
3. 理解，是记忆、使用的前提
4. 更多变型，可帮助我们加深理解 $\begin{array}{c}(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2等号成立条件ay=bx\\ (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ay+bx{)}^2等号成立条件ax=by\\ \\ (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by)(ay+bx)等号成立条件a=b,x=y\\ 4(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+ay+bx+by{)}^2等号成立条件a=b,x=y\\ \\ (a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge 4abxy等号成立条件a=b,x=y\\ \\ a^4+b^4+x^4+y^4\ge (a^2+b^2)(x^2+y^2)等号成立条件a=b,x=y\end{array}$

柯西不等式应用

核心部分$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\ge (ax+by{)}^2$可以表述为 $A\cdot B\ge C^2$

A为给定值，C为计算定值 $\Rightarrow$ B最小值

1. 〚26新高考A-1.4-三1〛☆📋

   题目

   已知 $m,n\in (0,+\infty )，\frac{1}{m}+n=4$，则 $m+\frac{9}{n}$ 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6

   指向原始笔记的链接

   Transclude of 〚26新高考a-1.4-三1〛☆📋#-柯西不等式

   Transclude of 〚26新高考a-1.4-三1〛☆📋#-柯西不等式-的来源即-排序不等式

柯西不等式变式

即：权方和不等式 或：分式型柯西不等式 $\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}\ge \frac{(a+b{)}^2}{m+n}$