※ 幂函数图像

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幂函数图像，分类分析

一览

1. 图像
2. 注意，分为8种情况 指数的正负、奇偶、是否大于1、分母是否偶数，都影响函数性质

（一）指数：奇数>0；定义域(-∞,+∞)；单调增；中心对称

1. 图像
2. 三个定点 (-1,-1)、(0,0)、(1,1)
3. 值域=定义域 如果 0≤x≤1，那么 y≤1；如果 x≤-1，那么 y≤-1
4. 反函数 红色（指数>1)和黄色（指数<1)互为反函数
5. 反函数对称性 红色、黄色函数的图像关于y=x对称
6. 凸凹性，在x>0和x<0时，相反$\{\begin{array}{ll}指数>1& 左凸右凹\\ 指数<1& 左凹右凸\\ 指数=1& 直线，不凸不凹\end{array}$
7. 大小比较 （相同x、不同指数，进行比较）$\{\begin{array}{ll}x\in (-\infty ,-1)& 指数越大，值越小\\ x\in (-1,0)& 指数越大，值越大\\ x\in (0,1)& 指数越大，值越小\\ x\in (1,+\infty )& 指数越大，值越大\end{array}$
8. 方程的解 这里 $f(x)：正、奇幂函数$ $f(x)=a，永远有单一解$
9. 指数>1、<1两种情况 图像被限制在两个“等腰直角三角形”和“无穷大的等腰直角三角形”内 如果将 (-1，1）内的x对应成1/x， 则，“等腰直角三角形”内的图像，就对应到“无穷大的等腰直角三角形”内 可以这样理解： 正负两个等腰直角三角形内的图像，是“中心对称” 等腰直角三角形和无穷大的三角形，图像是“倒数对称”

（二）指数：偶数>0；定义域(-∞,+∞)；左减右增；轴对称

1. 图像
2. 三定点 (-1,1)、(0,0)、(1,1) ——比如 $x^4=x^{10}$ ——即：$x^4(x^2-1)(x^4+x^2+1)=0$ ——故：$x=0、-1、1$
3. 大小比较 （不同函数，相同x，进行比较）$\{\begin{array}{ll}|x|<1& 指数越大，值越小\\ |x|>1& 指数越大，值越大\end{array}$
4. 凸凹性$\{\begin{array}{ll}指数>1& 凹函数\\ 指数<1& 凸函数\\ 指数=1& 直线，不凸不凹\end{array}$
5. 非负性 $f(x)\ge 0$
6. 方程的解 这里 $f(x)：偶幂函数$ $f(x)=a\{\begin{array}{ll}a<0& 无实数解\\ a=0& 一个解，x=0\\ a>0& 两个解\end{array}$

（三）指数：负数；定义域：x≠0；

1. 图像

（四）其他更特殊情况

1. 指数：分母偶数、正数；定义域：x≥0： 容易被忽略的一种情况
2. 指数：分母偶数、负数；定义域：x＞0： 注意，此时0也不在定义域
3. 指数：无理数；定义域：x≥0，负无理数，x>0

全家福

1. 全家福 ——告诉一个道理：幂函数图像，不会出现在第四象限
2. 图像

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