〚市北-19.5(2)-1〛改📋

题目

求作一个一元二次方程，使它的两根分别是一元二次方程 $x^2+7x+2=0$ 的各根的负倒数

导引

解答

方法1 - 朴素的方法

1. $x=\frac{-7\pm \sqrt{41}}{2}$
2. $y_1=-\frac{1}{x_1}=-\frac{2}{-7+\sqrt{41}}=-\frac{-7-\sqrt{41}}{4}$ $y_2=-\frac{1}{x_2}=-\frac{2}{-7-\sqrt{41}}=-\frac{-7+\sqrt{41}}{4}$
3. $(y-y_1)(y-y_2)=0$ $(y+\frac{-7-\sqrt{41}}{4})(y+\frac{-7+\sqrt{41}}{4})=0$ $(4y-7-\sqrt{41})(4y-7+\sqrt{41})=0$ $(4y-7{)}^2-41=0$ $16y^2-56y+8=0$ $2y^2-7y+1=0$

方法2 - 韦达定理

1. $x_1+x_2=-7$ $x_1{x}_2=2$
2. $y_1+y_2=-\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=-\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}$ $y_1{y}_2=-\frac{1}{x_1}(-\frac{1}{x_2})=\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{1}{2}$
3. $y^2-(y_1+y_2)y+y_1{y}_2=0$ $y^2-\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}=0$ $2y^2-7y+1=0$

方法3 - 构造法

1. $x^2+7x+2=0$ $1+7\frac{1}{x}+2\frac{1}{x^2}=0(同除x^2）$ $1-7(\frac{-1}{x})+2(\frac{-1}{x}{)}^2=0$
2. $1-7(y)+2(y{)}^2=0(将\frac{-1}{x}替换为y）$ $2y^2-7y+1=0$

解析

附注

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