〚260810〛📋

题目

解方程 $a{x}^2+bx+c=0$

导引

1. 注意分类讨论，比如：a是否等于0，b是否等于0，等等
2. 需要考虑所有情况（所有影响解题进行的情况） ——只要：每一步都有严格的逻辑 ——就能：就能考虑到所有情况
3. 很好的含参方程（不等式）练习，很好的分类讨论练习，很好的逻辑严谨练习

解答

$a=0时$ $b=0时$ $c=0时，x=任意实数$ 🔺 $c\ne 0时，x：无解$🔺 $b\ne 0时，x=-\frac{c}{b}$🔺 $a\ne 0时$ $a{x}^2+bx+c=0$ $⟺x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ $⟺x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{c}{a}=0$ $⟺(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$ $b^2-4ac\ge 0时$ $原方程⟺(x+\frac{b}{2a}{)}^2-(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}{)}^2=0$ $⟺(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=0$ $x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$🔺 $b^2-4ac<0时，x无解$ 🔺

解析

关于👉方程思想

解题中，针对”a=0”分支下的讨论 $a=0时$ $b=0时$ $c=0时，x=任意实数$ 🔺 $c\ne 0时，x：无解$🔺 $b\ne 0时，x=-\frac{c}{b}$🔺

这些讨论，即简单，又有趣 让我们看到，方程，仅仅意味着：需要满足的约束； 并不意味着解要如何如何。 即便是最简单的一元一次方程“bx+c=0”，解也有各种情况 1，有（唯一）解；2，无解；3，有无穷多解

这还是发生在（至少表面上）适定的情况 ——即，一个未知数一个方程 如果是一个未知数多个方程，超定方程 如果是多个未知数很少方程，不定方程 情况会更有趣

关于 ※ 名词专业词约束

这里，题目是：解方程$a{x}^2+bx+c=0$ 如果，题目是：解一元二次方程$a{x}^2+bx+c=0$ 如果是后者，那就不一样 “二次方程”几个字，隐含：a≠0 此时，就可以少去最初的一段讨论

关于 ※含参方程求解

题目求解中，还会出现一个小波折 比如：$(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}=0$ 后面，习惯性是开平方，$当b^2-4ac\ge 0时$ $x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$ 这里，$\sqrt{4a^2}$ 怎么办？并不能简单的 $=2a$ ——因为a未必是非负数

上面题解中，用“平方差”巧妙的绕过了对±2的讨论 但，这里的开平方，依然是大部分学生都更容易想到的方式

含参方程（不等式）的求解 很有用的基本功 一直到高中阶段，持续的产生更大影响 特别是集合之后反求参数等问题中

开平方与平方差的细微差异 👉※二次方程的核心解法只有两个

二次方程最终的求解，归结为：

1. $x^2=a^2,x=\pm a$
2. $(x-m)(x-n)=0,x=m,x=n$ 这是两个绕不开的逻辑，无论十字相乘、配平方方法、公式，都是基于它们完成 这两个方法，谈不好优劣好坏 都可以承担解二次中最关键的一环

甚至，还可以相互转化 比如：

1. 开平方转因式分解 $x^2=a^2⟺x^2-a^2=0⟺(x-a)(x+a)=0$
2. 因式分解转开平方 $(x-m)(x-n)$ $⟺(x-\frac{m+n}{2}-\frac{m-n}{2})(x-\frac{m+n}{2}+\frac{m-n}{2})=0$ $⟺(x-\frac{m+n}{2}{)}^2-(\frac{m-n}{2}{)}^2=0$ $⟺(x-\frac{m+n}{2}{)}^2=(\frac{m-n}{2}{)}^2$

但在推导“求根公式”中，两者效果不一样

1. 使用开平方 最后一步，$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$ 面临：“$\sqrt{4a^2}$ 去根号，需要分析a的符号”这个问题
2. 使用因式分解 最后一步，$(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})=0$ 可以直接求解，更简单

从这个角度，或许可以说：因式分解略胜开平方一筹

1. $x^2=a^2,x=\pm a$
2. $(x-m)(x-n)=0,x=m,x=n$ 即：$(x-m)(x-n)=0$ 比$x^2=a^2$，更好一点点

“±”与“±”不同 👉※多解与分情况讨论

在开平方的求解中，$当b^2-4ac\ge 0时$ $x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}$ 此时，有两种处理方式： 方式1， $x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\pm 2a}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 方式2， $x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}=\{\begin{array}{l}a>0，-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ a<0，-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-2a}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

以上两个方式，方式1更简洁；但，严谨说，第一个不对 在 $-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\pm 2a}$ 一步，出现2个±，交叉相乘后，相当于只有一个± 似乎很自然 但， 第一个±，含义是：方程有2个解，这两个解同时存在 第二个±，含义是：在不同情况下，有时＋，有时－ 这两个±，并不能同时存在，因此，其作用相互抵消，理论上是与瑕疵的

如同：你：

1. 上衣，有两件，a、b
2. 裤子，去年有一条，m；今年有一条，n； 因此，任一时间内，都不会有am an bm bn 四种组合 只会，在去年，有am bm组合；今年有an bn 组合

虽然，没有影响结果 但我们尽量做到明白，而非看起来是那么回事——滑向套路，降低真正的分析能力。

附注

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解方程 $a{x}^2+bx+c=0$