〚新思路(3)-6.1.1-11〛

题目

如图，用点 $A$，$B$，$C$ 表示三个有理数 $a$，$b$，$c$ 在数轴上的位置．

（数轴上：点 $A$ 在 $-4$ 左侧，即 $a<-4$；向右依次为刻度 $-4$、$-3$、$-2$；点 $C$ 在 $-2$ 与 $-1$ 之间，即 $-2<c<-1$；再向右为 $-1$、$0$、$1$、$2$；点 $B$ 在 $2$ 与 $3$ 之间，即 $2<b<3$；最右为 $3$．）

（1）$|a|$ 表示的意义是______；

（2）线段 $AB$ 的长用有理数 $a$，$b$ 表示为______；

（3）数 $c-a$，$b-c$ 的大小关系是______；

（4）若数轴上点 $D$ 到点 $C$ 的距离等于点 $A$ 到点 $C$ 的距离，且点 $D$ 与点 $A$ 不重合，则点 $D$ 所表示的数用 $a$，$c$ 表示为______；

（5）化简：$|a+4|-|c+2|+|2c-a-b|=$______；

（6）若数 $x$ 满足 $|x-a|+|x-b|=b-a$，则 $x$ 的取值范围为______．

导引

解答

（1）点 $A$ 到原点的距离；（2）$b-a$；（3）$c-a<b-c$；（4）$2c-a$；（5）$b-3c-6$；（6）$a⩽x⩽b$（书后参考答案）

解读

• （1）绝对值的几何意义：$|a|$ 就是点 $A$ 到原点的距离；
• （2）$B$ 在 $A$ 右侧，线段长 $=$ 右端坐标 $-$ 左端坐标 $=b-a$；
• （3）$c-a$ 与 $b-c$ 都是正数（右减左），分别是 $A$ 到 $C$、$C$ 到 $B$ 的距离；由图 $C$ 到 $B$ 更远，故 $c-a<b-c$；
• （4）到 $C$ 的距离等于 $AC$ 的点有两个：$A$ 本身，以及 $A$ 关于 $C$ 的对称点 $D$。由中点公式 $\frac{a+D}{2}=c$，得 $D=2c-a$；
• （5）由图定符号：$a<-4\Rightarrow a+4<0$；$-2<c<-1\Rightarrow c+2>0$；对 $2c-a-b$，取图示范围内的代表值（如 $a=-4.2,c=-1.5,b=2.6$）检验：$2c-a-b=-3+4.2-2.6=-1.4<0$。于是 $原式=(-a-4)-(c+2)-(2c-a-b)=-a-4-c-2-2c+a+b=b-3c-6$ （$a$ 恰好消去，结果只含 $b$、$c$）
• （6）$|x-a|+|x-b|$ 表示 $x$ 到 $a$、$b$ 两点距离之和，其最小值恰为 $b-a$（$x$ 在 $a$、$b$ 之间时取到），故 $a⩽x⩽b$．

解析

附注

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书后答案：