〚新思路(3)-6.1.2-10〛

题目

$a$，$b$ 是两个任意有理数，且 $a>b$，试比较：$|a|+|b|$，$|a|-|b|$，$|a-b|$ 的大小．

导引

解答

$|a|+|b|⩾|a-b|⩾|a|-|b|$（书后参考答案）

解读

• 分情况讨论 $a$，$b$ 的符号（已知 $a>b$）：
  • $a$，$b$ 同为正数：$|a-b|=a-b=|a|-|b|⩽|a|+|b|$；
  • $a$，$b$ 同为负数（如 $a=-1>b=-5$）：$|a-b|=|(-1)-(-5)|=4=|b|-|a|⩾|a|-|b|$（此时 $|a|-|b|$ 为负或较小，不等式显然成立），且 $4⩽6=|a|+|b|$；
  • $a⩾0⩾b$（异号或含 $0$）：$|a-b|=a+|b|=|a|+|b|$，达到最大；
  • $b=0$：$|a-b|=|a|=|a|-|b|$，右端取等号；
• 综上：$|a-b|$ 最大是 $|a|+|b|$（异号时取到），最小是 $|a|-|b|$（同正或 $b=0$ 时取到），而 $|a|-|b|$ 可能为负，此时不等式右端自动成立；
• 记住三角不等式 $|a|-|b|⩽|a\pm b|⩽|a|+|b|$ 即可，本题取 $b$ 换成 $-b$ 的情形；
• 易错点：只举正数的例子就下结论，漏掉负数、零的情形导致取等号情况讨论不全．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：