〚新思路(3)-6.1.3-11〛

题目

数学家高斯在上学读书时，曾研究过这样一个问题：求 $1+2+3+\cdots +100$ 的值．经研究，这个问题的一般结论是：$1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1)$，其中 $n$ 是正整数．

观察下列等式： $1\times 2=\frac{1}{3}\times (1\times 2\times 3-0\times 1\times 2);$ $2\times 3=\frac{1}{3}\times (2\times 3\times 4-1\times 2\times 3);$ $3\times 4=\frac{1}{3}\times (3\times 4\times 5-2\times 3\times 4).$

将这三个等式的两边分别相加，可以得 $1\times 2+2\times 3+3\times 4=\frac{1}{3}\times 3\times 4\times 5=20$．

根据以上规律，求下列式子的值．

（1）$1\times 2+2\times 3+\cdots +9\times 10$；

（2）$10\times 11+11\times 12+12\times 13+\cdots +19\times 20$．

导引

解答

（1）$330$；（2）$2330$（书后参考答案）

书后提示：（2）原式 $=\frac{1}{3}\times 19\times 20\times 21-\frac{1}{3}\times 9\times 10\times 11=2660-330=2330$．

解读

• 每个等式右边相加时，中间项成对相消（裂项相消）：$k(k+1)=\frac{1}{3}[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]$，从第 $m$ 项加到第 $n$ 项只剩”最右大头”减”最左小头”；
• （1）从 $1\times 2$ 加到 $9\times 10$，剩 $\frac{1}{3}\times 9\times 10\times 11=\frac{990}{3}=330$；
• （2）从 $10\times 11$ 加到 $19\times 20$：左边起点是 $10\times 11=\frac{1}{3}(10\times 11\times 12-9\times 10\times 11)$，右边终点是 $19\times 20=\frac{1}{3}(19\times 20\times 21-18\times 19\times 20)$，相消后剩 $\frac{1}{3}\times 19\times 20\times 21-\frac{1}{3}\times 9\times 10\times 11=2660-330=2330;$
• 也可用整体思想：（2）$=$（$1\times 2+\cdots +19\times 20$）$-$（$1\times 2+\cdots +9\times 10$）$=\frac{1}{3}\times 19\times 20\times 21-330$，结果一致；
• 易错点：（2）的”大头”是 $19\times 20\times 21$（末项两个因子再接下一个数），“小头”是 $9\times 10\times 11$（首项前接的三个数），起点不是 $10\times 11\times 12$ 而要减去 $9\times 10\times 11$．

解析

附注

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书后答案：