〚新思路(3)-6.1.3-8〛

题目

计算：$1÷\left(1-\frac{1}{2}\right)÷\left(1-\frac{1}{3}\right)÷\left(1-\frac{1}{4}\right)÷\cdots ÷\left(1-\frac{1}{2006}\right)$．

导引

解答

$2006$（书后参考答案）

书后提示：原式 $=1÷\frac{1}{2}÷\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}÷\cdots ÷\frac{2005}{2006}=1\times 2\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{2006}{2005}=2006$．

解读

• 先化简每个括号：$1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$，原式变成连除；
• 除以一个数等于乘它的倒数，从左到右依次进行： $1÷\frac{1}{2}÷\frac{2}{3}÷\frac{3}{4}÷\cdots ÷\frac{2005}{2006}=1\times 2\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{2006}{2005};$
• 观察连消规律：每一步算完恰好得整数 $n$（$1\times 2=2$，$2\times \frac{3}{2}=3$，$3\times \frac{4}{3}=4$……），中间的分子分母逐一相消，最终结果是最后一个括号对应的 $2006$；
• 易错点：把”连除”当成”除以连除的积”，即误算成 $1÷\left(\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \cdots \right)$；除法没有结合律，必须按从左到右的顺序逐个除．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：