题目

已知 $A = a + a^{2} + a^{3} + \dots + a^{100}$ ，当 $a = 1$ 时， $A^{2}$ 的值为____________；当 $a = - 1$ 时， $A^{2}$ 的值为____________．

导引

$10000$ ； $0$ （书后参考答案）

解读

当 $a = 1$ 时， $100$ 项全为 $1$ ， $A = 1 \times 100 = 100$ ，故 $A^{2} = 10 0^{2} = 10000$ ；
当 $a = - 1$ 时，奇次项为 $- 1$ （共 $50$ 项），偶次项为 $1$ （共 $50$ 项）， $A = (- 1) + 1 + (- 1) + \dots + 1 = 0$ ，故 $A^{2} = 0$ ；
也可两两配对： $(- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots + (- 1 + 1) = 0$ ；
易错点： $a = - 1$ 时项数是 $100$ 项（从 $a^{1}$ 到 $a^{100}$ ），正负项各 $50$ 个，恰好抵消；若数错项数就会出错； $10000$ 的书写按答案形式（也可写 $10000$ ）．

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书后答案：