〚新思路(3)-6.1.4-9〛

题目

在数 $1^2,2^2,3^2,\cdots ,2025^2$ 这 $2025$ 个数前添符号"$+$"或"$-$"，并进行求和运算，所得结果的最小非负值是多少？

导引

解答

$1$（书后参考答案）

书上解答：因为连续 $8$ 个自然数的平方可以添加符号"$+$"或"$-$"求和得到 $0$，如：$2^2-3^2-4^2+5^2-6^2+7^2+8^2-9^2=0$，而 $2025÷8=253\cdots \cdots 1$，所以可以考虑除 $1$ 以外的 $2024$ 个连续自然数的平方，可以添加符号"$+$"或"$-$"得到 $0$，则剩下 $1$．另外，$1^2+2^2+3^2+\cdots +2025^2$ 的结果为奇数，无论这 $2025$ 个数中间怎么添符号"$+$"或"$-$"，最后结果的奇偶性不变，始终为奇数．所以所得结果的最小非负值是 $1$．

解读

• 构造出 $1$：从 $2$ 到 $2025$ 共 $2024$ 个数，恰好是 $253$ 组”连续 $8$ 个数”，每组按书上示例的方式添符号可凑出 $0$，例如 $2^2-3^2-4^2+5^2-6^2+7^2+8^2-9^2=0$；于是只剩 $1^2=1$，结果可以达到 $1$；
• 证明不能得到 $0$：把某个"$+$"改成"$-$"，相当于把总和减少 $2n^2$，减少量是偶数，所以和的奇偶性不变；而每个 $n^2$ 与 $n$ 的奇偶性相同，$1$ 到 $2025$ 中奇数有 $1013$ 个（奇数个），故 $1^2+2^2+\cdots +2025^2$ 为奇数；添号后结果仍为奇数，永远不可能是 $0$；
• 综上，非负结果中最小的是 $1$；
• 易错点：只能添"$+$"或"$-$"，不能省略符号；“最小非负值”既要知道能取到 $1$（构造），又要证明取不到 $0$（奇偶性），两步缺一不可．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：