〚新思路(3)-6.1.6-25〛

题目

25. 某风景区的旅游线示意图如图所示，其中 $B$，$C$，$D$ 为风景点，$E$ 为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：km），一学生从点 $A$ 处出发，以 $2km/h$ 的速度步行游览，在每个景点的逗留时间为 $0.5\mathrm{h}$．

（图中：$D$ 在左上方，$C$ 在中部，$B$ 在右侧，$A$ 在下方，$E$ 为交叉点；$D$ 与 $C$ 间路程 $1$，$C$ 与 $B$ 间 $1.2$，$E$ 与 $B$ 间 $0.4$，$D$ 与 $A$ 间 $1.6$，$A$ 与 $E$ 间 $1$；$C$ 与 $E$ 相连但路程未知，即（1）中所求的 $CE$．）（第 25 题）

（1）当他沿着路线 $A\to D\to C\to E\to A$ 游览回到点 $A$ 处时，共用了 $3\mathrm{h}$，求 $CE$ 的长； （2）在(1)的基础上，若此学生打算从点 $A$ 处出发后，且在最短时间内看完 $3$ 个景点回到点 $A$ 处，请你为他设计一个路线，并说明这样设计的理由．（不考虑其他因素）

导引

解答

（1）$0.4\mathrm{km}$；（2）① 若路线为 $A\to D\to C\to B\to E\to A$（或 $A\to E\to B\to C\to D\to A$），则所用时间为 $(1.6+1+1.2+0.4+1)÷2+0.5\times 3=4.1(\mathrm{h})$；② 若路线为 $A\to D\to C\to E\to B\to E\to A$（或 $A\to E\to B\to E\to C\to D\to A$），则所用时间为 $(1.6+1+0.4+0.4\times 2+1)÷2+0.5\times 3=3.9(\mathrm{h})$．所以最短路线为 $A\to D\to C\to E\to B\to E\to A$ 或 $A\to E\to B\to E\to C\to D\to A$，所用时间为 $3.9\mathrm{h}$（书后参考答案）

解读

• （1）路线 $A\to D\to C\to E\to A$ 只经过 $D$、$C$ 两个景点（$E$ 是交叉点，不是景点，不停留）， 逗留时间 $0.5\times 2=1\mathrm{h}$，步行时间 $3-1=2\mathrm{h}$，步行路程 $2\times 2=4\mathrm{km}$； 所以 $CE=4-1.6-1-1=0.4(\mathrm{km})$；
• （2）看完 $B$、$C$、$D$ 三个景点需逗留 $0.5\times 3=1.5\mathrm{h}$，总时间 $=$ 路程 $÷2+1.5$，只需比较路程：
  • 方案① $A\to D\to C\to B\to E\to A$：路程 $1.6+1+1.2+0.4+1=5.2\mathrm{km}$，时间 $2.6+1.5=4.1\mathrm{h}$；
  • 方案② $A\to D\to C\to E\to B\to E\to A$：路程 $1.6+1+0.4+0.4+0.4+1=4.8\mathrm{km}$，时间 $2.4+1.5=3.9\mathrm{h}$； 方案②虽然从 $E$ 到 $B$ 走了两次，但用 $C\to E\to B$（$0.4+0.4=0.8\mathrm{km}$）替代了 $C\to B$ 的直达路（$1.2\mathrm{km}$），总路程更短，故最短路线用 $3.9\mathrm{h}$；
• 易错点：（1）中只游览了 $2$ 个景点，逗留 $1\mathrm{h}$ 而非 $1.5\mathrm{h}$；$E$ 不是景点，经过不逗留；比较方案时抓住”逗留时间相同、只比路程”这一要点．

解析

附注

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书后答案：