〚新思路8.21.4(2)-1、2〛📋

题目

1. 若关于x的方程 $x^2-4x+c=0$ 的一个根为 $2+\sqrt{3}$，求另一个根和c的值
2. 若关于x的方程 $2x^2-mx+3=0$ 的两个实数根的平方和为 $5$，求m的值

导引

《新思路》初中二次方程，根与系数关系 练习题前2题，又普通又简单 但于细微处见思想见知识。这里分享的是：根与系数的关系，不止于韦达定理，一共有三种方式方法

韦达定理，好用，但莫止步于此

90%学生的第一解题方法，应是：韦达定理 如下 $x_1+x_2=2+\sqrt{3}+x_2=4$，故，$x_2=2-\sqrt{3}$ $x_1{x}_2=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1=c$，即，$c=1$ ——这没什么不好，很简洁 ——甚至是最好的方法

另两种方法

韦达定理简单直接，但最好——特别是学习时——不要就此过 继续， 其他方法？

就比如，方法② ——$x_1=\frac{4+\sqrt{\Delta }}{2}=2+\sqrt{3}$， ——故， $\sqrt{\Delta }=\sqrt{3}$ ——故，$x_2=\frac{4-\sqrt{\Delta }}{2}=2-\sqrt{3}$ 不用韦达定理，好像也没啥，也没有很难

再比如，还可以方法③ ——$(2+\sqrt{3}{)}^2-4(2+\sqrt{3})+c=0$ ——易得，$c=1$

三种“根与系数”的关系

以上，体现了三种“根与系数”的关系

Transclude of ※-根与系数de三种关系#三种关系形式

利用三个关系形式，解第2题

解第1题的方法中，可以看到到根、系数的三个关系形式 这同样就可以应用在第2题上

方法1，利用“韦达定理” ——$x_1^2+x_2^2=5$ ——$(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=5$ —— $(\frac{m}{2}{)}^2-2\cdot \frac{3}{2}=5$ —— $m^2=32$

方法2，利用“方程关系” —— $2x_1^2-m{x}_1+3=0$ —— $2x_2^2-m{x}_2+3=0$ —— $2(x_1^2+x_2^2)-m(x_1+x_2)+6=0$ —— $2\cdot 5-m(\frac{m}{2})+6=0$ —— $m^2=32$

方法3，利用“公式关系” —— $(\frac{m+\sqrt{\Delta }}{4}{)}^{+}(\frac{m-\sqrt{\Delta }}{4}{)}^2=5$ —— $\frac{2m^2+2(m^2-4\cdot 2\cdot 3)}{16}$ —— $m^2=32$

写在最后

但，如果一直韦达定理，只会韦达定理 便陷入了“套路” 如过对数学要求高一点，这便不是我们想要的了 这会让我们失去更一般的数学能力，丢失解难题的能力，影响后续长期新知识的学习。

解答

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

1. $x^2-4x+c=0,x_1=2+\sqrt{3}$ $x_2=\_\_\_\_;c=\_\_\_\_$
2. $2x^2-mx+3=0,x_1^2+x_2^2=5$ $m=\_\_\_\_$