题目

$x$ 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？

（1） $x - 4 + 8 - x$ ；　　　（2） $\frac{x ^{2} + 1}{2 - x}$ ；　　　（3） $\frac{2 - x}{3 1 - x ^{2}}$ ．

导引

书上分析：二次根式 $a$ 有意义的条件是 $a ⩾ 0$ ．第 (1) 题中两个二次根式的被开方式都为非负时，字母 $x$ 取公共部分；第 (2) 题中注意分式的分母不为零及二次根式被开方式非负的综合运用；第 (3) 题中奇次根式的被开方式的取值是任意实数．

书上解：（1）由 $x - 4 ⩾ 0$ ，得 $x ⩾ 4$ ；由 $8 - x ⩾ 0$ ，得 $x ⩽ 8$ ．所以，当 $4 ⩽ x ⩽ 8$ 时， $x - 4 + 8 - x$ 有意义．

（2）由 $\frac{x ^{2} + 1}{2 - x} ⩾ 0$ ，得 $2 - x > 0$ ，解得 $x < 2$ ．所以，当 $x < 2$ 时， $\frac{x ^{2} + 1}{2 - x}$ 有意义．

（3）由 $3 1 - x^{2} \neq = 0$ ，得 $x \neq = \pm 1$ ；且 $x ⩾ 0$ ．所以，当 $x ⩾ 0$ 且 $x \neq = 1$ 时， $\frac{2 - x}{3 1 - x ^{2}}$ 有意义．

书上说明：求解这一类问题的方法是由二次根式中被开方式大于或等于零列出不等式，同时要考虑代数式成立的条件，要形成看到偶次根式立即作出被开方式非负、看到分式立即作出分母非零的反应．

解读

第 (1) 题：两个二次根式都要有意义，取交集 ${x - 4 ⩾ 0 8 - x ⩾ 0$ ，即 $4 ⩽ x ⩽ 8$ ；
第 (2) 题：分子 $x^{2} + 1$ 恒正，所以分式非负等价于分母 $2 - x > 0$ （注意分母为零也不行，故是严格大于）；易错点：只令 $2 - x ⩾ 0$ ，得出 $x ⩽ 2$ 是错的；
第 (3) 题：三层条件缺一不可——分子中 $x$ 要求 $x ⩾ 0$ ；分母 $3 1 - x^{2}$ 是三次根式，被开方数可取任意实数，但分母不能为零，即 $1 - x^{2} \neq = 0$ ， $x \neq = \pm 1$ ；联立得 $x ⩾ 0$ 且 $x \neq = 1$ ；
方法总结：偶次根式 $\Rightarrow$ 被开方数 $⩾ 0$ ；分式 $\Rightarrow$ 分母 $\neq = 0$ ；奇次根式对被开方数无限制．

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书上解答：