题目

化简： $1 + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}}$ （ $n$ 是正整数）．

导引

$\frac{n ^{2} + n + 1}{n ( n + 1 )}$ （书后参考答案）

解读

通分： $1 + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2} + ( n + 1 ) ^{2} + n ^{2}}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}$ ；
展开分子： $n^{2} (n + 1)^{2} + (n + 1)^{2} + n^{2} = n^{2} (n + 1)^{2} + 2 n^{2} + 2 n + 1 = n^{2} (n + 1)^{2} + 2 n (n + 1) + 1 = [n (n + 1) + 1]^{2}$ ；
所以原式 $= \frac{[ n ( n + 1 ) + 1 ] ^{2}}{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}} = \frac{n ( n + 1 ) + 1}{n ( n + 1 )} = \frac{n ^{2} + n + 1}{n ( n + 1 )}$ （ $n$ 是正整数，各量非负，绝对值直接去掉）；
易错点：分子配方是关键—— $2 n^{2} + 2 n + 1$ 凑成 $2 n (n + 1) + 1$ ，与首项配成完全平方；粗心展开合并会卡住；

☆☆☆💯🏅👍

书后答案：