题目

已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图所示，化简： $a^{2} + (c - a)^{2} - (a + b)^{2} + (b + c)^{2} =$ ______．

（数轴上从左到右依次标有 $b$ 、 $a$ 、 $0$ 、 $c$ ，即 $b < a < 0 < c$ ，且 $∣ b ∣ > ∣ c ∣$ 、 $c > ∣ a ∣$ ）

导引

$- a$ （书后参考答案）

解读

由数轴知： $b < a < 0 < c$ ，即 $a < 0$ ， $b < 0$ ， $c > 0$ ，且 $∣ b ∣ > ∣ c ∣ > ∣ a ∣$ ；
$a^{2} = ∣ a ∣ = - a$ ；
$c - a > 0$ （正数减负数）， $(c - a)^{2} = c - a$ ；
$a + b < 0$ （两个负数之和）， $(a + b)^{2} = ∣ a + b ∣ = - (a + b)$ ，前面有减号： $- [- (a + b)] = a + b$ ；
$b + c$ ：由图 $∣ b ∣ > ∣ c ∣$ ，负数绝对值大，所以 $b + c < 0$ ， $(b + c)^{2} = - (b + c)$ ；
原式 $= (- a) + (c - a) + (a + b) + [- (b + c)] = - a + c - a + a + b - b - c = - a$ ；
易错点：每一项都要先写成绝对值再由数轴定符号； $b + c$ 的符号取决于 $∣ b ∣$ 与 $∣ c ∣$ 的大小，判错则全盘皆错；中间大量项相互抵消是本题的巧妙之处；

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书后答案：