〚新思路8.20-阶段3-11〛

题目

已知 $x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，$y=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求下列各式的值： (1) $x^{-2}+y^{-2}$；　　(2) $x^2+xy+y^2$；　　(3) $x^3+y^3$．

导引

解答

由题意，得 $x+y=2\sqrt{2}$，$xy=1$　(1) $x^{-2}+y^{-2}=(\sqrt{2}+1{)}^2+(\sqrt{2}-1{)}^2=6$　(2) $x^2+xy+y^2=(x+y{)}^2-xy=7$　(3) $x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)=10\sqrt{2}$（书后参考答案）

解读

• 先分母有理化：$x=\sqrt{2}-1$，$y=\sqrt{2}+1$，故 $x+y=2\sqrt{2}$，$xy=1$；
• (1) 负指数即取倒数：$x^{-2}={\left(\frac{1}{x}\right)}^2=(\sqrt{2}+1{)}^2=3+2\sqrt{2}$，同理 $y^{-2}=3-2\sqrt{2}$，和为 $6$；
• (2)(3) 用对称恒等式整体代入：$x^2+xy+y^2=(x+y{)}^2-xy$，$x^3+y^3=(x+y{)}^3-3xy(x+y)$；
• (3) 计算：$(2\sqrt{2}{)}^3-3\times 1\times 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}-6\sqrt{2}=10\sqrt{2}$；
• 易错：$x^{-2}$ 是 $x^{-1}$ 的平方即 $\frac{1}{x^2}$，不要误当作 $-x^2$；(3) 若忘了立方和公式直接展开计算量很大．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：