〚新思路8.20-阶段3-9〛

题目

设 $M=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2026}}$，且 $N=1-2+3-4+5-6+\cdots +2025-2026$，求 $\frac{N}{(M+1{)}^2}$ 的值．

导引

解答

$M=\sqrt{2026}-1$，$N=-1013$，原式$=-\frac{1}{2}$（书后参考答案）

解读

• 每项分母有理化：$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$，裂项相消得 $M=\sqrt{2026}-1$；
• $N$ 两两分组：$(1-2)+(3-4)+\cdots +(2025-2026)$，共 $1013$ 组，每组 $-1$，故 $N=-1013$；
• $(M+1{)}^2=(\sqrt{2026}{)}^2=2026$，所以 $\frac{N}{(M+1{)}^2}=\frac{-1013}{2026}=-\frac{1}{2}$；
• 易错：$N$ 共 $2026$ 项、$1013$ 组，项数数错会全盘皆错；$M$ 的最后一项分母是 $\sqrt{2025}+\sqrt{2026}$，裂项后剩下 $\sqrt{2026}$ 而非 $\sqrt{2025}$．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：