〚新思路8.20.2.2-e1〛

题目

计算： （1）$\sqrt{15}\times \sqrt{1\frac{2}{3}}÷\sqrt{2.4}$； （2）$\frac{1}{a}\sqrt{\frac{a}{a^2-b^2}}÷\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\cdot \frac{a+b}{a}\sqrt{\frac{1}{a}}(a+b>0)$．

导引

二次根式的乘除运算，只要系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，约简后再化成最简二次根式．

解答

（1）原式$=\sqrt{15}\times \sqrt{\frac{5}{3}}÷\sqrt{\frac{24}{10}}=\sqrt{15\times \frac{5}{3}\times \frac{10}{24}}=\sqrt{\frac{5^3}{12}}=\sqrt{\frac{5^2\times 5\times 3}{4\times 3\times 3}}=\frac{5}{6}\sqrt{15}$．

（2）原式$=\left(\frac{1}{a}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a+b}{a}\right)\sqrt{\frac{a}{(a+b)(a-b)}\cdot \frac{a-b}{a+b}\cdot \frac{1}{a}}=\frac{a+b}{ab}\sqrt{\frac{1}{(a+b{)}^2}}=\frac{1}{ab}$．

说明　二次根式乘除运算时，如$÷\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}$时，应该把$\frac{b}{a}$与$\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}$的乘积作为除数．

解读

• 带分数与小数先化成假分数：$1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$，$2.4=\frac{12}{5}$，再统一写成根号内的乘积．
• 第（2）题的关键是”整体作除数”：$\frac{b}{a}\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}$是一个整体，系数 $\frac{b}{a}$ 与根式要一起取倒数，不能只除系数．
• 系数与系数、被开方数与开方数分别运算，最后必须化成最简二次根式，分母不留根号．
• 易错点：忽略 $a+b>0$ 这一条件，导致 $\sqrt{(a+b{)}^2}=a+b$ 的化简依据说不清；本题正是靠它才能去掉绝对值．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：