〚新思路8.20.2.2-e2〛

题目

已知等腰三角形的周长为$2\sqrt{10}+\sqrt{2}$，面积为$\frac{\sqrt{15}}{2}$，且其中一边的长为$\sqrt{10}$，求该等腰三角形底边上的高．

导引

等腰三角形的周长及一边已知，求另一边时有两种可能，即$\sqrt{10}$为腰或底边；又已知三角形面积，可求底边上的高．

解答

若$\sqrt{10}$为腰，则底边为$2\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{10}=\sqrt{2}$，此三角形符合题意．

则底边上的高为$\frac{\sqrt{15}}{2}\times 2÷\sqrt{2}=\frac{\sqrt{30}}{2}$．

若$\sqrt{10}$为底边，则腰为$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，此三角形符合题意．

则底边上的高为$\frac{\sqrt{15}}{2}\times 2÷\sqrt{10}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．

所以，底边上的高为$\frac{\sqrt{30}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

解读

• 已知”一边”为$\sqrt{10}$而未说明是腰还是底，必须分两种情况讨论，这是本题的分类依据．
• 由面积求高：$S=\frac{1}{2}\times$底$\times$高，故高$=2S÷$底，先定底再求高．
• 每种情况都要检验三边能否构成三角形（两腰之和大于底），不能只算不验．
• 易错点：只讨论一种情况而漏解；把”底边上的高”与”腰上的高”混淆；结果忘记用”或”连接．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：