题目

计算：

（1） $\frac{1}{3 + 2} + \frac{1}{2 - 1} - \frac{2}{3 + 1}$ ；

（2） $\frac{1}{x - 1 + x ^{2}} - \frac{1}{x + 1 + x ^{2}}$ ；

（3） $\frac{1}{2 + 2} + \frac{1}{3 2 + 2 3} + \dots + \frac{1}{100 99 + 99 100}$ ．

导引

（1） $2$ 　（2） $- 2 1 + x^{2}$

（3）原式 $= 1 - \frac{2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{3}{3} + \frac{3}{3} - \dots + \frac{99}{99} - \frac{100}{100} = \frac{9}{10}$

解读

（1）逐项分母有理化： $\frac{1}{3 + 2} = 3 - 2$ ， $\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1$ ， $\frac{2}{3 + 1} = 3 - 1$ ，相加后两两抵消得 $2$ ．
（2）注意分母 $x - 1 + x^{2}$ 为负，有理化后 $\frac{1}{x - 1 + x ^{2}} = - (x + 1 + x^{2})$ ， $\frac{1}{x + 1 + x ^{2}} = 1 + x^{2} - x$ ，相减得 $- 2 1 + x^{2}$ ．
（3）通项裂项： $\frac{1}{( n + 1 ) n + n n + 1} = \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 1 + n )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ ，于是各项 telescoping 相加，只剩首尾 $1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ ．
易错点：（2）忽略分母为负导致符号错；（3）看不出裂项结构而逐项硬算；把通项中的 $n$ 与 $n + 1$ 对应错位．

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书后答案：