〚新思路8.20.2.3-11〛

题目

设$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，$y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$（$n$为正整数），如果$2x^2+234xy+2y^2=2030$成立，求$n$的值．

导引

解答

$\because x+y=4n+2$，$xy=1$，$\therefore 2x^2+234xy+2y^2=2(x+y{)}^2+230xy=2(4n+2{)}^2+230=2030$，得$(4n+2{)}^2=900$，即$4n+2=30$（负值舍去），解得$n=7$．

解读

• 先对$x$、$y$分母有理化：$x=\frac{{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}^2}{1}=2n+1-2\sqrt{n(n+1)}$，$y=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$，于是$x+y=4n+2$，$xy=1$．
• 把条件式配方：$2x^2+234xy+2y^2=2\left(x^2+y^2\right)+234xy=2(x+y{)}^2+230xy$，整体代入后只含$n$．
• 解出$(4n+2{)}^2=900$时，$4n+2=\pm 30$，因$n$为正整数只取$30$，得$n=7$．
• 易错点：忘记$x+y$、$xy$的整体代换而直接代入根式；开方时保留负根；忽略$n$为正整数的限制．

解析

附注

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书后答案：