〚新思路8.20.2.3-6〛

题目

设$\frac{3\sqrt{3}+5}{\sqrt{3}+1}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$a^2+b^2$的值为（　　）．

A．$13+2\sqrt{3}$　　B．$11+2\sqrt{3}$　　C．$11-2\sqrt{3}$　　D．$13-2\sqrt{3}$

导引

解答

D

解读

• 先化简：$\frac{3\sqrt{3}+5}{\sqrt{3}+1}=\frac{\left(3\sqrt{3}+5\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}$．
• 由$1<\sqrt{3}<2$得$3<2+\sqrt{3}<4$，故整数部分$a=3$，小数部分$b=2+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-1$．
• 于是$a^2+b^2=9+\left(4-2\sqrt{3}\right)=13-2\sqrt{3}$，选D．
• 易错点：把小数部分误写成$\sqrt{3}$（忘了减去整数部分$2$）；把$b$写成$2+\sqrt{3}$；有理化时分子展开漏项．

解析

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇

书后答案：