题目

已知 $x = \frac{3 - 2}{3 + 2}$ ， $y = \frac{3 + 2}{3 - 2}$ ，则 $\frac{y}{x ^{2}} + \frac{x}{y ^{2}}$ 的值为______．

导引

$970$ （书后参考答案）

解读

先化简： $x = (3 - 2)^{2} = 5 - 26$ ， $y = (3 + 2)^{2} = 5 + 26$ ；可见 $x y = (5)^{2} - (26)^{2} = 1$ ， $x + y = 10$ ；
通分： $\frac{y}{x ^{2}} + \frac{x}{y ^{2}} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} y ^{2}}$ ；分母 $x^{2} y^{2} = (x y)^{2} = 1$ ；
分子用立方和公式： $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) = (x + y) [(x + y)^{2} - 3 x y] = 10 \times (100 - 3) = 970$ ；
易错点：不用分别求出 $x^{3}, y^{3}$ ，抓住 $x + y$ 与 $x y$ 的整体代入； $x = \frac{3 - 2}{3 + 2}$ 有理化时分子分母同乘 $(3 - 2)$ 。

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书后答案：