题目

已知 $x = a - \frac{1}{a}$ ，求 $\frac{x + 2 + 4 x + x ^{2}}{x + 2 - 4 x + x ^{2}}$ ．

导引

$a^{2}$ （书后参考答案）

解读

两边平方求 $x$ ： $x = (a - \frac{1}{a})^{2} = a + \frac{1}{a} - 2$ ；
于是 $x + 2 = a + \frac{1}{a}$ ； $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4 = (a + \frac{1}{a})^{2} - 4 = (a - \frac{1}{a})^{2}$ ，故 $4 x + x^{2} = x^{2} + 4 x = a - \frac{1}{a}$ ；
由 $x = a - \frac{1}{a} > 0$ 知 $a > \frac{1}{a}$ ，所以 $a - \frac{1}{a} = a - \frac{1}{a}$ ；
代入：原式 $= \frac{( a + \frac{1}{a} ) + ( a - \frac{1}{a} )}{( a + \frac{1}{a} ) - ( a - \frac{1}{a} )} = \frac{2 a}{\frac{2}{a}} = a^{2}$ ；
易错点： $(a - \frac{1}{a})^{2} = a - \frac{1}{a}$ ，去绝对值必须先由 $x > 0$ 判断 $a - \frac{1}{a}$ 的符号；本题字母取值范围是隐含条件。

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书后答案：