题目

已知 $a = \frac{1}{2 + 3}$ ，则 $\frac{a ^{2} - 1}{a + 1} - \frac{a ^{2} - 2 a + 1}{a ^{2} - a}$ 的值为______．

导引

$3$ （书后参考答案）

解读

先化简 $a$ ： $a = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ （约 $0.27$ ，故 $0 < a < 1$ ）；
第一项： $\frac{a ^{2} - 1}{a + 1} = \frac{( a + 1 ) ( a - 1 )}{a + 1} = a - 1$ ；
第二项： $a^{2} - 2 a + 1 = (a - 1)^{2} = ∣ a - 1∣ = 1 - a$ （因为 $a < 1$ ）；分母 $a^{2} - a = a (a - 1)$ ，所以 $\frac{a ^{2} - 2 a + 1}{a ^{2} - a} = \frac{1 - a}{a ( a - 1 )} = - \frac{1}{a}$ ；
原式 $= (a - 1) - (- \frac{1}{a}) = a - 1 + \frac{1}{a}$ ；又 $\frac{1}{a} = 2 + 3$ （ $a$ 与 $\frac{1}{a}$ 互为有理化因式），故原式 $= (2 - 3) - 1 + (2 + 3) = 3$ ；
易错点： $(a - 1)^{2} = ∣ a - 1∣$ ， $a < 1$ 时要取 $1 - a$ ；第二项约分时符号容易出错。

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书后答案：