题目

当t≤x≤t+1时，求函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{5}{2}$ 的最小值(其中:t为常数). 关联：知识/初中/解析几何/二次函数/二次函数、约束表达、完备性 ——完备性实现的2个思路年级：9年级

解析

准备工作，求对称轴 $x = \frac{- b}{2 a} = 1$ 注：心算配平方，也容易发现 $(x - 1)^{2}$ ，故x=1
同侧，左侧 —— 此时： $t + 1 \leq 1 ，即： t \leq 0$ ——最小值： $x = t + 1 ， y = \frac{1}{2} (t + 1)^{2} - (t + 1) - \frac{5}{2}$
异侧，t+1更靠近对称轴
—— 此时： $0 \leq t \leq 0.5$ ——最小值=顶点： $x = 1 ， y = - 3$ ——最大值： $x = t ， y =$
异侧，t更靠近对称轴
—— 此时： $0.5 \leq t \leq 1$ ——最小值=顶点： $x = 1 ， y = - 3$ ——最大值： $x = t + 1 ， y =$
同侧，右侧
—— 此时： $1 \leq t$ ——最小值=顶点： $x = t ， y = \frac{1}{2} t^{2} - t - \frac{5}{2}$ ——最大值： $x = t + 1 ， y =$

注：以上，将同侧、异侧等条件表达为关于t的不等式，有2个思路

结合图形分析，直接给出结论 ——这个方法，简单、快速 ——但缺点，无法处理辅助的情况，比如 $t \leq x \leq \frac{4}{3} t + 7$ 作为条件
将约束严谨的翻译成不等式 ——同侧，翻译成不等式，左侧、右侧翻译成不等式 ——异侧，翻译成不等式，异侧左大右小、左小右大，分别翻译成不等式 ——这个方法，处理过程复杂，但功能强大

注：枚举所有情况，也有2个思路

👍💯🏅🙇