〚240625〛等差-部分和💯

题目

已知一等差数列，第3项到底16项的和是1491，第14项到第20项的和是1113，求第一项是多少？（注：第几项到第几项，头尾都包括）

解答

$a_{\frac{16+3}{2}}=a_{9.5}=\frac{1491}{16-3+1}=\frac{1491}{14}=106.5$ $a_{\frac{14+20}{2}}=a_{17}=\frac{1113}{20-14+1}=\frac{1113}{7}=159$ $a_1=a_{17}-(a_{17}-a_{9.5})\times \frac{17-1}{17-9.5}=159-(159-106.5)\times \frac{16}{7.5}=47$

解析

• 等差数列 > 数列和反推的问题
• 等差数列 > 不同求和方法及其价值
• 自编的一道题，为了进一步掌握”均值求和“的方法
• 题目数据结构，如下
  • 
• 本题，依次涉及以下等差数列相关认知
  1. 使用均值求等差数列和
  2. 第9.5个虚拟项
• *第3步，很有趣，用到 比例思想
  • 根据第17个数、第9.5个数求第1个数
  • ——常规，需要求公差
  • ——这里，直接利用”数差、编号差“的比例关系
• 第3步，还有一种加权平均的求法
  • 化归思想 > 逻辑同构
  • ※ 一题多解 > 增加对数值关系的积累
  • 【底层逻辑】双数组合
  • 方法1，常规二数均值关系
    • $17-1=16；9.5-1=8.5；17-9.5=7.5$
    • $a_{9.5}=a_1\times \frac{7.5}{16}+a_{17}\times \frac{8.5}{16}$
    • 故：$a_1=(a_{9.5}-a_{17}\times \frac{8.5}{16})÷\times \frac{7.5}{16}$
  • 方法2，将a1视作中间项——这有一点考验
    • 各项距离：
      • $总距离：17-9.5=7.5；$
      • $距离9.5项1-9.5=-8.5；$
      • $距离第17项17-1=16$
    • 故：$a_1=a_{9.5}\times \frac{16}{7.5}+a_{17}\times \frac{-8.5}{16}=106.5\times \frac{16}{7.5}+159\times \frac{-8.5}{7.5}=47$
    • ——这还是一道不错的 计算能力 练习，如下
      • 
      • 计算本身，不是数学；灵活的结算，是数学
  • 注：
    • 以上，针对此题，没有什么实际价值
    • 以上，对于”双数均值、直线参数方程“是很好的关联学习机会

※ 规则化公式化

$已知等差数列满足：a_m+...+a_n=s_{mn}；a_s+...+a_t=s_{st}$ $则：a_1=\frac{s_{mn}}{n-m+1}\times \frac{\frac{s+t}{2}-1}{\frac{s+t}{2}-\frac{m+n}{2}}+\frac{s_{st}}{t-s+1}\times \frac{1-\frac{m+n}{2}}{\frac{s+t}{2}-\frac{m+n}{2}}$

• 以上
  • 公式没啥用——鬼才记得住
  • 总结公式的过程，有用！