〚260815〛☆☆📋

题目

已知，a>0，b>0，c>0，证明 $\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{9}\ge \frac{(a+b+c{)}^3}{27}\ge \frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{9}\ge abc$

导引

题目本身是 👉均值不等式 然题目体现出来的，却是 👉※排序不等式 的典型应用

解答 - 用 二元均值不等式证明

1. $3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ $=3(a^3+b^3+c^3)-(a^3+b^3+c^3+a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b)$ $=2a^3+2b^3+2c^3-a^{2}b-a^{2}c-b^{2}a-b^{2}c-c^{2}a-c^{2}b$ $=(a^3-2a^{2}b+a{b}^2)+(a^3-2a^{2}c+a{c}^2)+(b^3-2b^{2}a+b{a}^2)+(b^3-2b^{2}c+b{c}^2)+$ $(c^3-2c^{2}a+c{a}^2)+(c^3-2c^{2}b+c{b}^2)$ $=$

解答 - 用 👉均值不等式 证明

1. 展开 $(a+b+c{)}^3$ $=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc$ $=A+3B_1+3B_2+2C$ 这里定义： ——$A=a^3+b^3+c^3$ ——$B_1=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ ——$B_2=a^{2}c+c^{2}b+b^{2}a$ ——$C=abc+abc+abc$
2. 展开 $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ $=a^3+b^3+c^3+a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b$ $=A+B_1+B_2$
3. 展开$(ab+bc+ca)(a+b+c)$ $=a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b+3abc$ $=B_1+B_2+C$
4. 排序不等式，考查 $a^2{b}^2{c}^2$ 与 $abc$ 配对相乘：A=a^3+b^3+c^3=(a^2\ \ b^2\ \ c^2) \times \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}\right)=顺序乘积的和$$$$B_1=a^2b+b^2c+c^2a=(a^2\ \ b^2\ \ c^2) \times \left(\begin{matrix} b \\ c \\ a \end{matrix}\right)=乱序乘积的和$$$$B_2=a^2c+b^2a+c^2b=(a^2\ \ b^2\ \ c^2) \times \left(\begin{matrix} c \\ a \\ b \end{matrix}\right)=乱序乘积的和 故有：$A\ge B_1，A\ge B_2$
5. 继续，考查 $abacbc$ 与 $abc$ 配对相乘： 若 $a\ge b\ge c$ 则 $ab\ge ac\ge bc$ $B_1=a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$，是乱序乘积的和 $B_2=a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b$，是乱序乘积的和 $C=abc+abc+abc$，是逆序乘积的和 故有：$B_1\ge C，B_2\ge C$
6. 分析不等式中各项 第1项，$a^3+b^3+c^3=A$ 第2项，$\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{3}=\frac{A+B_1+B_2}{3}$ 第3项，$\frac{(a+b+c{)}^3}{9}=\frac{A+3B_1+3B_2+2C}{9}$ 第4项，$\frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)}{3}=\frac{B_1+B_2+C}{3}$ 第5项，$3abc=C$ 考虑到基于排序不等式得到的信息：$A最大，C最小，B_1、B_2居中$ 以上5项的大小顺序可得

解析

附注

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