题目

证明以下不等式

任意a、b、c，以下排序不等式成立 $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + b c + c a$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a^{2} + 2 b c$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq b^{2} + 2 c a$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq c^{2} + 2 ab$ 若 $a \geq b \geq c$ ，证明 $a^{2} + 2 b c c^{2} + 2 ab \geq ab + b c + c a \geq b^{2} + 2 a c$ 若 $a \geq b \geq c$ 且 $a - b \geq b - c$ ，证明 $a^{2} + 2 b c \geq c^{2} + 2 ab$
任意a、b、c，以下均值不等式成立 $\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3} \geq \frac{( a + b + c ) ^{2}}{9} \geq \frac{ab + b c + c a}{3}$ 若 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ ，则有如下进一步比较 $\frac{ab + b c + c a}{3} \geq 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

导引

证明 $a^{2} + 2 b c \geq c^{2} + 2 ab$ $a^{2} + 2 b c - c^{2} - 2 ab$ $= (a + c) (a - c) + 2 b (c - a)$ $= (a - c) (a + c - 2 b)$ $= (a - c) ((a - b) - (b - c))$ $\geq 0$ 其形象解读：b在a、c中间，但是b和a相距更远，因此平方和，ab组合比bc组合降低幅度会更大。👉※返璞归真

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