题目

设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 5$ 求 $\frac{( x + 1 ) ( 2 y + 1 )}{x y}$ 最小值

导引

$\frac{( x + 1 ) ( 2 y + 1 )}{x y}$ $= \frac{2 x y + x + 2 y + 1}{x y}$ $= 2 x y + \frac{6}{x y}$ $\geq 212 = 43$

相等条件： $2 x y = \frac{6}{x y}$ ，即 ${x y = 3 x + 2 y = 5$ 考虑到： $5 = x + 2 y \geq 2 2 x y$ 即 $x y \leq \frac{25}{8} = 3.125$ xy，可以无限接近于0 故：x、y有解

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