题目

设实数x,y满足 $x > \frac{3}{2} ， y > 3$ ，不等式 $k (2 x - 3) (y - 3) \leq 8 x^{3} + y^{3} - 12 x^{2} - 3 y^{2}$ 恒成立，则实数k的最大值为( ) A.12 B.24 C. $23$ D. $43$

导引

不等式整理（保留有效特征，增加分析） $k (2 x - 3) (y - 3) \leq (2 x + y) (4 x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 3 (4 x^{2} + y^{2})$ 无效 $k (2 x - 3) (y - 3) \leq 4 x^{2} (2 x - 3) + y^{2} (y - 3)$ 有效
不等式分析恒成立 $4 x^{2} (2 x - 3) + y^{2} (y - 3) \geq 2 \cdot 2 x y (2 x - 3) (y - 3)$ 参考 $4 x^{2} (2 x - 3) + y^{2} (y - 3) \geq k (2 x - 3) (y - 3)$ 只需要 $k \leq \frac{4 x y}{( 2 x - 3 ) ( y - 3 )}$
求 $\frac{4 x y}{( 2 x - 3 ) ( y - 3 )}$ 最小值 $❀ = \frac{2 ( 2 x - 3 + 3 ) ( y - 3 + 3 )}{( 2 x - 3 ) ( y - 3 )} = \frac{2 ( m + 3 ) ( n + 3 )}{mn} = 2 (mn + \frac{3 m}{n} + \frac{3 n}{m} + \frac{9}{mn})$ $\geq 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9 = 24$
取等号条件 $mn = \frac{3 m}{n} = \frac{3 n}{m} = \frac{9}{mn}$ $m = n = 3$

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇