〚26新高考A-1.4-高3〛☆☆👍

题目

(多选)已知关于x的不等式 $(m+a)x^2+(m-2b)x-1>0(a>0,b>0)$的解集为 $(-\infty ,-1)U(\frac{1}{2},\infty )$，则下列结论正确的是( ) A. $2a+b=1$
B. $\sqrt{a}+2\sqrt{b}$ 的最大值为$\sqrt{3}$ C. $\frac{4}{a+1}+\frac{4}{b+1}$ 的最小值为 $3+2\sqrt{2}$
D. $a^2+b^2$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$

导引

1. 关于x的不等式 $(m+a)x^2+(m-2b)x-1>0(a>0,b>0)$的解集为 $(-\infty ,-1)U(\frac{1}{2},\infty )$ 通过这个信息，首先能得到什么结论？

解答

二次不等式，解集两端，说明

1. $m+a＞0$
2. $x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}$ 根与系数关系，此时直接采用方程代入（无需考虑判别式）
3. $m+a-m+2b-1=0$，即 $a+2b=1$ $m+a+2m-4b-4=0$，即 $3m+a-4b-4=0$ 注：此时，不要采用韦达定理，不要采用根的公式 👉※ 根与系数De三种关系

基于 $a+2b=1$ 继续推理

1. A，不OK
2. B，不OK （算错式子了） 👉※三元均值不等式求最值 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}$ $=\sqrt{(\frac{1}{2}\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}$ $\le \sqrt{3[(\frac{1}{2}\sqrt{a}{)}^2+(\frac{1}{2}\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2)}$ $=\sqrt{3[\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+b]}$ $=\sqrt{3\cdot \frac{1}{2}(a+2b)}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 条件：a=4b, b=1/6, a=2/3
3. B，OK 👉※三元均值不等式求最值 $❀=\sqrt{a}+2\sqrt{b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}$ $=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}{)}^2}$ $\le \sqrt{3[(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2)}$ $=\sqrt{3(a+2b)}=\sqrt{3}$ 条件：a=b 👉柯西不等式 $❀=\sqrt{a}+2\sqrt{b}=1\cdot \sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2b}$ $=\sqrt{(1\cdot \sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2b}{)}^2}$ $\le \sqrt{(1^2+{\sqrt{2}}^2)({\sqrt{a}}^2+(\sqrt{2b}{)}^2)}$ $=\sqrt{3(a+2b)}=\sqrt{3}$
4. C，OK $❀=\frac{4}{2-2b}+\frac{4}{b+1}=\frac{2}{1-b}+\frac{4}{b+1}$ $=\frac{6-2b}{1-b^2}=\frac{2m}{1-(3-m{)}^2}$ $=\frac{2m}{-8+6m-m^2}$ $=\frac{2}{-\frac{8}{m}+6-m}$ $\ge \frac{2}{6-2\sqrt{8}}=3+2\sqrt{2}$ 条件 mm=8，m=3-b，满足
5. D，不OK $❀=a^2+b^2=(1-2b{)}^2+b^2=1-4b+4b^2+b^2$ $=5b^2-4b+1=5b^2-4b+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}（大概率不对）$ $=5(b-\frac{2}{5}{)}^2-\frac{4}{5}+1$ $\ge \frac{1}{5}$

解析

👉※ 根与系数De三种关系

参考答案中，使用了根与系数的关系

根与系数关系，此时直接采用方程代入（无需考虑判别式） 3. $m+a-m+2b-1=0$，即 $a+2b=1$ $m+a+2m-4b-4=0$，即 $3m+a-4b-4=0$ 注：此时，不要采用韦达定理，不要采用根的公式

实际上，代入方程，会更好

1. 更简洁
2. 韦达定理，规避里判别式的符号，存在隐患 直接代入，只要a、b、m存在，方程的解就一定存在 过度使用韦达定理，大概是机械学习的结果

参考答案

附注

☆☆☆☆💯🏅📋👍🙇