〚26新高考A-1.4-高3〛改☆☆📋

题目

1. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $\sqrt{a}+\sqrt{2b}$ 的最大值
2. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的最大值
3. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $\sqrt{a}+2\sqrt{b}$ 的最大值
4. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $3\sqrt{a}+5\sqrt{b}$ 的最大值
5. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $a^2+4b^2$ 的最小值
6. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $a^2+b^2$ 的最小值
7. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $3a^2+5b^2$ 的最小值

导引

1. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $\sqrt{a}+\sqrt{2b}$ 的最大值 柯西不等式：大材小用 均值不等值：方便
2. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的最大值
   柯西不等式：方便 均值不等式：困难
3. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $\sqrt{a}+2\sqrt{b}$ 的最大值
   柯西不等式：方便 均值不等式：困难
4. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $3\sqrt{a}+5\sqrt{b}$ 的最大值 柯西不等式：方便 均值不等式：很困难
5. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $a^2+4b^2$ 的最小值
6. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $a^2+b^2$ 的最小值
7. 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $3a^2+5b^2$ 的最小值

解答

👉柯西不等式

柯西不等式，实际应用1

适用情况

• 把a、b视作常数使用
• 二次表达式 $x^2+y^2$ 、一次表达式 $ax+by$，知道其一，可对另一个作估值 示例
• 已知 $a>0,b>0,a+2b=1$，求 $3\sqrt{a}+5\sqrt{b}$ 的最大值
• 求解，$(3\sqrt{a}+5\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}\cdot 3+\sqrt{2}\sqrt{b}\cdot \frac{5}{\sqrt{2}}{)}^2\le (a+2b)(3^2+(\frac{5}{\sqrt{2}}{)}^2)=\frac{43}{2}$
• 故：$3\sqrt{a}+5\sqrt{b}\le \frac{\sqrt{86}}{2}$
• 等号成立条件：$a:2b=3:\frac{5}{\sqrt{2}}$ 示例 $❀=\sqrt{a}+2\sqrt{b}=1\cdot \sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2b}$ $=\sqrt{(1\cdot \sqrt{a}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2b}{)}^2}$ $\le \sqrt{(1^2+{\sqrt{2}}^2)({\sqrt{a}}^2+(\sqrt{2b}{)}^2)}$ $=\sqrt{3(a+2b)}=\sqrt{3}$

👉※ 规则化公式化

在 $mx+ny$ 与 $a{x}^2+b{y}^2$ 之间建立，用柯西不等式建立比较关系$(mx+ny{)}^2=(\sqrt{a}x\cdot \frac{m}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}y\cdot \frac{n}{\sqrt{b}}{)}^2\le (a{x}^2+b{y}^2)(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b})$ 在 $m\sqrt{x}+n\sqrt{y}$ 与 $ax+by$ 之间建立，用柯西不等式建立比较关系$(m\sqrt{x}+n\sqrt{y}{)}^2\le (ax+by)(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b})$

柯西不等式，实际应用2

适用情况 a、b、x、y均含有变量，但ax、by为常数 此时，亦可针对某个二次式做估值

👉※三元均值不等式求最值

最基本应用，均值不等式，在一次和二次之间建立比较关系

1. 当目标是 $a、b$，已知是 $a^2、b^2$ 时，或者互换，可利用 $(a+b{)}^2\le 2(a^2+b^2)$
2. 从左往右，求最大值；从右往左，求最小值

略加变化，便是：根式、一次式，之间建立比较关系

1. 当目标是 $\sqrt{a}、\sqrt{b}$，已知是 $a、b$ 时，或者互换时，可用 $(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2\le 2(a+b)$
2. 当 $a+2b=1$，有：$(\sqrt{a}+\sqrt{2b}{)}^2\le 2({\sqrt{a}}^2+{\sqrt{2b}}^2)=2(1+2b)=1$ 最重要一个变化，发生在系数不对等

• 即，已知 $a+2b=1$ 目标 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• 当系数不对等时，需要拆分
  1. 均匀拆分，保持“=”能成立
  2. 计算系数，拆成n份，平方后缩小n倍
  3. 拆分后，需要高次均值不等式 比如：$(a+b+c{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$

第1个，系数不对等

• 已知 $a+2b=1$ 目标 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• 处理为：$(\frac{1}{2}\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}+\sqrt{b})$ 此时平方和：$(\frac{1}{2}\sqrt{a}{)}^2+(\frac{1}{2}\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2)=\frac{1}{2}(a+2b)$
• 求解 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}$ $=\sqrt{(\frac{1}{2}\sqrt{a}+\frac{1}{2}\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2}$ $\le \sqrt{3[(\frac{1}{2}\sqrt{a}{)}^2+(\frac{1}{2}\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2)}$ $=\sqrt{3[\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+b]}$ $=\sqrt{3\cdot \frac{1}{2}(a+2b)}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
• 等号条件：$a=4b,b=1/6,a=2/3$

第2个，系数不对等

• 求解，已知 $a+2b=1$ 目标 $\sqrt{a}+2\sqrt{b}$
• 分析：目标平方后，$a+4b$，需要b的倍数拆分
• 求解：$(\sqrt{a}+2\sqrt{b}{)}^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}{)}^2\le 3(a+b+b)=3$
• 或着：$\begin{array}{c}\sqrt{a}+2\sqrt{b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{b}{)}^2}\\ \le \sqrt{3[(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2)}=\sqrt{3(a+2b)}=\sqrt{3}\end{array}$
• 等号成立条件：$a=b=b\Rightarrow a=b=\frac{1}{3}$ 第3个，系数不对等
• 求解，已知 $a+2b=1$ 目标 $3\sqrt{a}+5\sqrt{b}$
• 分析：目标平方后，$9a+25b$，需要b缩小25，a缩小18
• 求解：使用43元的均值不等式 $\begin{array}{l}(3\sqrt{a}+5\sqrt{b}{)}^2\\ =(\underset{18个}{\underbrace{\frac{1}{6}\sqrt{a}+...+\frac{1}{6}\sqrt{a}}}+\underset{25个}{\underbrace{\frac{1}{5}\sqrt{b}+...\frac{1}{5}\sqrt{b}}}{)}^2\\ \le (18+25)\cdot (\underset{18个}{\underbrace{\frac{a}{36}+...+\frac{a}{36}}}+\underset{25个}{\underbrace{\frac{b}{25}+...\frac{b}{25}}})\\ =(18+25)\cdot (\frac{a}{2}+b)\\ =43\cdot \frac{1}{2}(a+2b)\\ =43\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\\ =\frac{43}{2}\end{array}$
• 等号成立条件：$a=b=b\Rightarrow a=b=\frac{1}{3}$

解析

附注

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