题目

（2025 届重庆八中开学考，15）已知函数 $f (x) = lo g_{m} (x - m) + lo g_{m} (x - 2 m)$ （ $m > 0$ 且 $m \neq = 1$ ）。

（1）若对于任意的 $x \in [3 m, 4 m]$ ，都有 $f (x) ⩽ 1$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，是否存在 $α, β \in (\frac{5 m}{2}, + \infty)$ ，使 $f (x)$ 在区间 $[α, β]$ 上的值域是 $[lo g_{m} β, lo g_{m} α]$ ？若存在，求实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。