〚代数精编2.1-10〛

题目

已知关于 $x$ 的方程 $x^2-(2k+1)x+4\left(k-\frac{1}{2}\right)=0$． （1）求证：无论 $k$ 取何值，这个方程总有实数根． （2）若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a=4$，另两边的长 $b$ 和 $c$ 恰好是这个方程的两个根，求三角形 $ABC$ 的周长．

导引

解答

（书后参考答案） （1）$\Delta =(2k+1{)}^2-16\left(k-\frac{1}{2}\right)=4k^2-12k+9=(2k-3{)}^2⩾0$，故无论 $k$ 取何值，方程总有实数根。 （2）等腰三角形 $ABC$ 有两种情形： ① $b=c$：即方程有两相等实根，$\Delta =(2k-3{)}^2=0$，解得 $k=\frac{3}{2}$。此时方程为 $x^2-4x+4=0$，$b=c=2$，三边为 $4,2,2$，$2+2=4$ 不满足三角形三边关系，不能构成三角形（书解：此时 $b+c=a$，三边不能构成三角形）。 ② $b=c$ 或其中一边等于 $a=4$：即 $x=4$ 是方程一根，代入得 $16-4(2k+1)+4k-2=0$，解得 $k=\frac{5}{2}$。方程为 $x^2-6x+8=0$，两根为 $2$ 和 $4$，即 $b=2$，$c=4$，此时三角形周长为 $a+b+c=4+2+4=10$。 综上，三角形 $ABC$ 的周长为 $10$。

解析

附注

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