〚代数精编2.1-12〛

题目

设x，y为实数，若 $4x^2+y^2-xy=3$，则 $2x+y$ 的最大值为

导引

已知：$4x^2+y^2-xy=3$ 求： $2x+y$ 最大值

1. 方程组、不等式组
2. 参数的排列组合

解答

方法1，“等式+恒不等式=条件不等式”，直接求 2x+y

1. 转化$4x^2+y^2$ $3=4x^2+y^2-xy=(2x+y{)}^2-5xy$
2. 转化xy $3=(2x+y{)}^2-5xy=(2x+y{)}^2-\frac{5}{2}\cdot 2x\cdot y\ge (2x+y{)}^2-\frac{5}{8}(2x+y{)}^2$ $3\ge \frac{3}{8}(2x+y{)}^2$
3. 得解： $2\sqrt{2}\le 2x+y\le 2\sqrt{2}$

方法1，细节的变换

1. 已知做变化 $(2x+y{)}^2-5xy=3$ $xy=\frac{(2x+y{)}^2-3}{5}$
2. 构造关于未知的不等式 $(2x+y{)}^2\ge 8xy$
3. 将“已知等式”代入“未知不等式” $(2x+y{)}^2\ge 8\cdot \frac{(2x+y{)}^2-3}{5}$
4. 求解即可 $(2x+y{)}^2\le 8$

方法1的变化，“等式+恒不等式=条件不等式”，先求 xy

1. 先得到 xy 最值 $3=4x^2+y^2-xy\ge 4xy-xy=3xy$ $xy\le 1$，等号成立条件：$2x=y$
2. 将目标 2x+y转化为xy $3=4x^2+y^2-xy=(2x+y{)}^2-5xy$ $(2x+y{)}^2=3+5xy\le 8$
3. 得解： $2\sqrt{2}\le 2x+y\le 2\sqrt{2}$

对“方法1”的解释

1. 知识：用到 👉均值不等式 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
2. 思路：这个方法，核心思路如下（这是需要掌握的） 已知：2m+5n=22，且 m>3n 求：n的最大值 ——这道题，似乎容易理解 $22=2m+5n>6n+5n=11n$，故 n<2 ——另外一个处理方式：将2m+5n=22 代入到 m>3n 当前题目，与此题如出一辙。 唯一区别在于 ——此题，明确告知：m>3n ——当前题目，需要自己去找出来：$(2x+y{)}^2\ge 8xy$
3. 底层逻辑 这个方法告诉我们 多个方程，可以组成方程组 多个不等式，可以组成不等式组 方程和不等式，可以组成混合约束组

方法2，归结为 二次方程有解问题

1. 转化 $4x^2+y^2-xy$ $=(2x+y{)}^2-5xy$ $=(2x+y{)}^2-5x(2x+y-2x)$ $=(2x+y{)}^2-5x(2x+y)+10x^2$
2. 新等式 $(2x+y{)}^2-5x(2x+y)+10x^2=3$ $10x^2-5(2x+y)x+(2x+y{)}^2-3=0$ $10x^2-5Ax+A^2-3=0$
3. 判别式 $\Delta =(5A{)}^2-40(A^2-3)=120-15A^2\ge 0$ $A^2\le 8$
4. 得解： $2\sqrt{2}\le 2x+y\le 2\sqrt{2}$

对“方法2”的解释

将“约束”构建为“隐含约束”，这是解法的底层逻辑； $4x^2+y^2-xy=3$成立，隐含：判别式非负 这类内在隐含约束，是数学模型的重要部分 比如 $\mathrm{0.121212...}$ 隐含：$100\times \mathrm{0.121212...}=12+\mathrm{0.121212...}$ 即：100x=12+x，故：99x=12，故：x=12/99

方法3，信息代入，函数分析

1. 解方程 $y^2-xy+4x^2-3=0$ $\Delta =x^2-4(4x^2-3)=12-15x^2$ $y=\frac{x\pm \sqrt{12-15x^2}}{2}$
2. 信息代入 $2x+y=2x+\frac{x\pm \sqrt{12-15x^2}}{2}=\frac{5x\pm \sqrt{12-15x^2}}{2}$
3. 函数分析 针对 $f(x)=\frac{5x\pm \sqrt{12-15x^2}}{2}$ ，通过函数分析，求最值 如图：

对于“方法3”的解释

这是纯信息思维的利用 讲x、y的相互约束，转化为纯x的问题 即转化为单变量x的的函数分析

解析

附注

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