题目

$α, β$ 是方程 $4 x^{2} - 4 k x + 3 k + 10 = 0$ 的两个实根，求 $(α - 1)^{2} + (β - 1)^{2}$ 的最小值．

导引

解答

$\frac{9}{16}$ （当 $k = 5$ 时取等）（书后参考答案）

因为 $α, β$ 是方程 $4 x^{2} - 4 k x + 3 k + 10 = 0$ 的两个实根， $Δ = 16 k^{2} - 16 (3 k + 10) ⩾ 0 \Rightarrow k ⩾ 5 或 k ⩽ - 2.$ 由韦达定理得 $α + β = k$ ， $α β = \frac{1}{4} (3 k + 10)$ 。

$(α - 1)^{2} + (β - 1)^{2} = α^{2} + β^{2} - 2 (α + β) + 2 = (α + β)^{2} - 2 α β - 2 (α + β) + 2$ $= k^{2} - \frac{1}{2} (3 k + 10) - 2 k + 2 = k^{2} - \frac{7}{2} k - 3 = (k - \frac{7}{4})^{2} - \frac{97}{16} ⩾ \frac{9}{16} .$

由于 $k ⩾ 5$ 或 $k ⩽ - 2$ ，而 $k = \frac{7}{4}$ 不在范围内，故在 $k = 5$ （或 $k = - 2$ ）处比较：

$k = 5$ 时，值为 $25 - \frac{35}{2} - 3 = \frac{9}{2}$ ；
$k = - 2$ 时，值为 $4 + 7 - 3 = 8$ 。

故最小值为 $\frac{9}{2}$ （当 $k = 5$ 时）。

书后答案标注为“ $\frac{9}{16}$ ，当 $k = 5$ 时等号成立”，与上式计算（ $k = 5$ 时为 $\frac{9}{2}$ ）不一致，建议以亲手验算为准。

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