〚代数精编2.1-17〛

题目

（1）已知正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=3$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$，求实数 $a,b,c$ 的值． （2）若 $a,b,c$ 为三个不相等的实数，求证：一元二次方程 $a{x}^2+2bx+c=0$，$b{x}^2+2cx+a=0$，$c{x}^2+2ax+b=0$ 不能都有两个相等实根．

导引

解答

（书后参考答案） （1）因为 $a+b+c=3$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$，即 $a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}=6，$ 所以 ${\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2+{\left(\sqrt{b}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)}^2+{\left(\sqrt{c}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)}^2=0$。 所以 $\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}$，$\sqrt{b}=\frac{1}{\sqrt{b}}$，$\sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt{c}}$， 即 $a=b=c=1$。

（2）设三个方程都能得到等根，则有 ${\Delta }_1=4b^2-4ac=0，$ ${\Delta }_2=4c^2-4ab=0，$ ${\Delta }_3=4a^2-4bc=0.$ 将三式相加、除以 2，得 $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0$，即 $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$。 所以 $a=b=c$，这与题设矛盾。 因此这三个方程不能都有两个相等实根。

解析

附注

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