题目

若相异的两实数 $x, y$ 满足 ${x^{2} + y - 2 = 0, y^{2} + x - 2 = 0,$ 则 $x^{3} - 2 x y + y^{3}$ 之值为（　）（A） $3$ ．　（B） $4$ ．　（C） $5$ ．　（D） $6$ ．

导引

D（书后参考答案）

两式相减： $(x^{2} - y^{2}) + (y - x) = 0$ ，即 $(x - y) (x + y - 1) = 0$ 。因 $x \neq = y$ ，故 $x + y = 1$ 。

代入 $x^{2} + y - 2 = 0$ ： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，于是 $x y = x (1 - x) = x - x^{2} = x - (x + 1) = - 1.$

$x^{3} - 2 x y + y^{3} = (x^{3} + y^{3}) - 2 x y = [(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)] - 2 x y = 1 + 3 + 2 = 6.$

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